Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200 W tenha espessura L=0,5 cm, área da base A=300 cm^2 e condutividade térmica k=15 W / m K. A superfície interna da placa é submetida a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência interna, enquanto a resistência externa perde calor para o meio (temperatura Tinfty=20^circ C ) por convecção. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção é h=80 W/m².K e desprezando a perda de calor por radiação, obtenha a expressão para a variação de temperatura na placa da base do ferro e avalie as temperaturas nas superfícies interna e externa. R cdot T(0)=533^circ C e T(L)=520^circ C

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos uma placa de base de um ferro de passar com algumas características físicas: potência de 1200 W, espessura , área da base e condutividade térmica . A superfície interna da placa recebe calor de uma resistência, enquanto a superfície externa perde calor para o ambiente por convecção, cuja temperatura é e o coeficiente de transferência de calor por convecção é . Queremos encontrar a variação de temperatura na placa e as temperaturas nas superfícies interna e externa.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de condução de calor, convecção e o equilíbrio térmico na placa.

Passo 2

Vamos começar convertendo todas as unidades para o Sistema Internacional (SI), para facilitar os cálculos.
  • Espessura da placa:
  • Área da base:

Passo 3

Sabemos que a potência total fornecida pela resistência é q = -k cdot A cdot dTdx . Essa potência é distribuída através da condução de calor na placa até a superfície externa, onde é perdida por convecção.
A transferência de calor por condução na placa pode ser descrita pela lei de Fourier:
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor (W),
  • é a condutividade térmica (W/(m·K)),
  • é a área (m²),
  • é o gradiente de temperatura.
Como a placa está em estado estacionário, a taxa de condução de calor é constante e igual à potência fornecida .

Passo 4

Agora, consideramos a perda de calor por convecção na superfície externa. A taxa de transferência de calor por convecção é dada por:
qconv = h cdot A cdot (Texterna - Tinfty)
Onde:
  • P = qconv é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/(m²·K)),
  • é a temperatura na superfície externa da placa,
  • é a temperatura ambiente.
Como o sistema está em equilíbrio térmico, a taxa de condução de calor na placa é igual à taxa de convecção na superfície externa:

Passo 5

Igualando as duas expressões para k cdot A cdot Tinterna - TexternaL = h cdot A cdot (Texterna - Tinfty) :
k cdot Tinterna - TexternaL = h cdot (Texterna - Tinfty)
Perceba que aparece nos dois lados da equação e pode ser cancelado:

Passo 6

Agora, vamos isolar Tinterna - Texterna = h cdot Lk cdot (Texterna - Tinfty) em termos de Tinterna = Texterna + h cdot Lk cdot (Texterna - Tinfty) :

Passo 7

Vamos resolver para P = h cdot A cdot (Texterna - Tinfty) . Sabemos que a potência Texterna = Ph cdot A + Tinfty , então podemos relacionar isso com a transferência de calor por convecção:
Isolando :

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
Texterna = 120080 cdot 0,03 + 20
Texterna = 12002,4 + 20
Texterna = 500 + 20 = 520^circ C

Passo 9

Agora que temos Tinterna = Texterna + h cdot Lk cdot (Texterna - Tinfty) , podemos encontrar Tinterna = 520 + 80 cdot 0,00515 cdot (520 - 20) usando a relação que encontramos anteriormente:
Tinterna = 520 + 0,415 cdot 500
Substituindo os valores:
Tinterna = 520 + 20015
Tinterna = 520 + 13,33 approx 533,33^circ C

Passo 10

Agora, para encontrar a variação de temperatura na placa, vamos considerar uma posição T(x) = Tinterna - Tinterna - TexternaL cdot x dentro da placa, onde T(x) = 533,33 - 533,33 - 5200,005 cdot x . A temperatura T(x) = 533,33 - 13,330,005 cdot x pode ser expressa como uma função linear, já que o gradiente de temperatura é constante:
T(x) = 533,33 - 2666 cdot x
Substituindo os valores:

Resposta

A variação de temperatura na placa da base do ferro é dada por:
T(x) = 533,33 - 2666 cdot x (em ^circC)
As temperaturas nas superfícies são:
  • Superfície interna:
  • Superfície externa:

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