Verifique se a função f(x) = x^2 + 1 é injetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função é injetora. Isso está relacionado ao estudo de funções, especificamente sobre as propriedades de injetividade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser injetora e aplicar esse conceito à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função injetora. Uma função é injetora (ou “injetiva”) se, para cada valor diferente de entrada e , os valores de saída e também forem diferentes. Em outras palavras, não há dois diferentes valores de que produzam o mesmo .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Suponha que existam dois números e tais que . Se conseguirmos mostrar que isso implica que , então a função é injetora.

Passo 4

Então, igualamos as duas expressões:
a^2 + 1 = b^2 + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:
a^2 = b^2

Passo 5

A equação implica que ou . Portanto, se , ainda podemos ter se .

Passo 6

Isso significa que para f(2) = 2^2 + 1 = 5 e f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5 , ambos produzem o mesmo valor de saída na função . Por exemplo, se e :

Passo 7

Como vimos, existem valores diferentes de que resultam no mesmo . Logo, a função não satisfaz a condição de injetividade.

Resposta

A função não é injetora.

Exercícios relacionados