Considere um planeta hipotético gravitando em órbita circular em torno do Sol. Admita que o raio da órbita desse planeta seja o quádruplo do raio da órbita da Terra. Nessas condições, qual o período de translação do citado planeta, expresso em anos terrestres?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um planeta imaginário que está girando ao redor do Sol em uma órbita circular. O raio dessa órbita é quatro vezes maior que o da Terra. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Kepler, que relaciona o período de translação de um planeta com o raio da sua órbita. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa lei com as informações que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Kepler que nos diz que o quadrado do período de translação (
) de um planeta é proporcional ao cubo do raio da sua órbita (
). Matematicamente, isso é representado por:
Como estamos comparando o planeta hipotético com a Terra, podemos escrever essa relação como:
Onde:
-
é o período do planeta hipotético -
é o período da Terra (1 ano) -
é o raio da órbita do planeta hipotético -
é o raio da órbita da Terra
Passo 3
Sabemos que o raio da órbita do planeta hipotético (
) é quatro vezes o raio da órbita da Terra (
):
Substituindo isso na equação da Lei de Kepler:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Resposta
O período de translação do planeta hipotético é de 8 anos terrestres.