Considere um planeta hipotético gravitando em órbita circular em torno do Sol. Admita que o raio da órbita desse planeta seja o quádruplo do raio da órbita da Terra. Nessas condições, qual o período de translação do citado planeta, expresso em anos terrestres?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um planeta imaginário que está girando ao redor do Sol em uma órbita circular. O raio dessa órbita é quatro vezes maior que o da Terra. A matéria que vamos usar aqui é a Lei de Kepler, que relaciona o período de translação de um planeta com o raio da sua órbita. Para resolver isso, precisamos entender como aplicar essa lei com as informações que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Kepler que nos diz que o quadrado do período de translação ( T) de um planeta é proporcional ao cubo do raio da sua órbita ( r). Matematicamente, isso é representado por:
T^2 propto r^3
Como estamos comparando o planeta hipotético com a Terra, podemos escrever essa relação como:
(TpTe)^2 = (rpre)^3
Onde:
  • Tp é o período do planeta hipotético
  • Te é o período da Terra (1 ano)
  • rp é o raio da órbita do planeta hipotético
  • re é o raio da órbita da Terra

Passo 3

Sabemos que o raio da órbita do planeta hipotético ( rp) é quatro vezes o raio da órbita da Terra ( re):
rp = 4 times re
Substituindo isso na equação da Lei de Kepler:
(Tp1 , ano)^2 = (4 times rere)^3
Simplificando:
Tp^2 = 4^3 = 64

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de Tp. Para isso, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Tp = raiz64 = 8 , anos

Resposta

O período de translação do planeta hipotético é de 8 anos terrestres.

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