O período de Mercúrio em torno do Sol é da ordem de
do ano terrestre. O raio médio da órbita do planeta anão Plutão em torno do Sol é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio. Calcule o valor aproximado do período de Plutão em torno do Sol, medido em anos terrestres.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Leis de Kepler, que dizem respeito ao movimento dos planetas ao redor do Sol. Precisamos saber o período de Plutão, dado que conhecemos o período de Mercúrio e a diferença nos raios das órbitas deles. Vamos usar a relação entre o período orbital e o raio da órbita para achar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que a gente sabe:
- O período de Mercúrio (quanto tempo ele leva para dar uma volta completa ao redor do Sol) é de $ \frac{1}{4} $ ano terrestre.
- O raio médio da órbita de Plutão é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio.
Vamos usar a Terceira Lei de Kepler, que estabelece que o quadrado do período orbital ($ T
r $):
Isso significa que:
Onde:
- $ T_P $ é o período de Plutão,
- $ T_M $ é o período de Mercúrio,
- $ r_P $ é o raio da órbita de Plutão,
- $ r_M $ é o raio da órbita de Mercúrio.
Passo 3
Como sabemos que $ r_P = 100 \times r_M $, podemos substituir na equação:
Então:
Passo 4
Vamos isolar $ T_P $:
Passo 5
Sabemos que $ T_M = \frac{1}{4} $ ano terrestre. Substituindo:
Resposta
O período aproximado de Plutão em torno do Sol é de 250 anos terrestres.