O período de Mercúrio em torno do Sol é da ordem de 1 / 4 do ano terrestre. O raio médio da órbita do planeta anão Plutão em torno do Sol é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio. Calcule o valor aproximado do período de Plutão em torno do Sol, medido em anos terrestres.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com Leis de Kepler, que dizem respeito ao movimento dos planetas ao redor do Sol. Precisamos saber o período de Plutão, dado que conhecemos o período de Mercúrio e a diferença nos raios das órbitas deles. Vamos usar a relação entre o período orbital e o raio da órbita para achar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que a gente sabe:
  • O período de Mercúrio (quanto tempo ele leva para dar uma volta completa ao redor do Sol) é de $ \frac{1}{4} $ ano terrestre.
  • O raio médio da órbita de Plutão é 100 vezes maior que o raio médio da órbita de Mercúrio.
Vamos usar a Terceira Lei de Kepler, que estabelece que o quadrado do período orbital ($ T 14 éó r $):
T
Isso significa que:
r
Onde:
  • $ T_P $ é o período de Plutão,
  • $ T_M $ é o período de Mercúrio,
  • $ r_P $ é o raio da órbita de Plutão,
  • $ r_M $ é o raio da órbita de Mercúrio.

Passo 3

Como sabemos que $ r_P = 100 \times r_M $, podemos substituir na equação:
rP = 100 times rM
Então:
TP^2TM^2 = (100 times rM)^3rM^3 = 100^3 = 1,000,000

Passo 4

Vamos isolar $ T_P $:
TP
TP^2 = 1,000,000 times TM^2
TP = raiz1,000,000 times TM

Passo 5

Sabemos que $ T_M = \frac{1}{4} $ ano terrestre. Substituindo:
TM = 14

Resposta

O período aproximado de Plutão em torno do Sol é de 250 anos terrestres.

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