Considere os planos
l Pi1=(x, y, z) in R^3 ; 3 x+y-z+3=0 Pi2=(x, y, z) in R^3 ; x-y+4 z-9=0
Determine uma base ORTONORMAL para R^3 contendo o máximo possível de vetores diretores do plano Pi1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço tridimensional, definidos pelas equações:
Pi1 = (x, y, z) in R^3 ;, 3x + y - z + 3 = 0
Pi2 = (x, y, z) in R^3 ;, x - y + 4z - 9 = 0
O objetivo é encontrar uma base ortonormal para que contenha o máximo possível de vetores diretores do plano . Isso significa que queremos três vetores mutuamente perpendiculares, de comprimento 1, onde o máximo possível desses vetores esteja no plano .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um vetor diretor de um plano. Um vetor diretor de um plano é qualquer vetor que está contido no plano, ou seja, que satisfaz a equação do plano quando substituímos nas coordenadas.
Para encontrar vetores diretores de 3x + y - z + 3 = 0 , vamos reescrever a equação do plano de forma que possamos identificar dois vetores que estão no plano. A equação de z = 3x + y + 3 é:
Podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, podemos atribuir valores a e para encontrar vetores no plano.

Passo 3

Vamos escolher dois vetores diferentes no plano z = 3(1) + 0 + 3 = 6 .
Primeiro vetor:
Escolha z = 3(0) + 1 + 3 = 4 e :
Então, o vetor é .
Segundo vetor:
Escolha e :
Então, o vetor é .

Passo 4

Agora, temos dois vetores e que estão no plano . Queremos que parte da nossa base ortonormal contenha esses vetores (ou versões normalizadas deles).
Para construir uma base ortonormal, precisamos que os vetores sejam mutuamente ortogonais e de módulo 1. Usaremos o processo de Gram-Schmidt para ortogonalizar e depois normalizar os vetores.

Passo 5

Primeiro, normalizamos |v1| = raiz1^2 + 0^2 + 6^2 = raiz1 + 0 + 36 = raiz37 :
u1 = ( 1raiz37,, 0,, 6raiz37 )
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, aplicamos Gram-Schmidt para tornar v2' = v2 - (v2 cdot u1) u1 ortogonal a v2 cdot u1 = 0 cdot 1raiz37 + 1 cdot 0 + 4 cdot 6raiz37 = 24raiz37 :
v2' = (0, 1, 4) - 24raiz37 ( 1raiz37,, 0,, 6raiz37 ) = (0 - 2437,, 1 - 0,, 4 - 14437)
Calculando o produto escalar:
= ( -2437,, 1,, 148 - 14437 ) = ( -2437,, 1,, 437 )
Então,

Passo 7

Agora, normalizamos |v2'| = raiz(-2437)^2 + 1^2 + (437)^2 = raiz5761369 + 1 + 161369 = raiz576 + 1369 + 161369 = raiz19611369 = raiz196137 :
u2 = ( -2437,, 1,, 437 ) cdot 37raiz1961 = ( -24raiz1961,, 37raiz1961,, 4raiz1961 )
Portanto, o vetor unitário é:

Passo 8

Agora, precisamos de um terceiro vetor que seja ortogonal tanto a u3 = u1 times u2 quanto a u3 = i & j & k 1raiz37 & 0 & 6raiz37 -24raiz1961 & 37raiz1961 & 4raiz1961 . Para isso, podemos usar o produto vetorial:
Calculando:
Após calcular o determinante e normalizar, teremos o terceiro vetor ortonormal.

Resposta

A base ortonormal para ( 1raiz37,, 0,, 6raiz37 ),, ( -24raiz1961,, 37raiz1961,, 4raiz1961 ),, u3 que contém o máximo possível de vetores diretores do plano é:
onde é o vetor unitário resultante do produto vetorial de e , garantindo que todos os três vetores sejam mutuamente ortogonais e de módulo 1.

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