Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as equações de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal às retas e . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço 3D, especialmente vetores e ortogonalidade. Vamos precisar entender como representar retas no espaço e usar o produto vetorial para achar uma direção que seja perpendicular às duas retas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão dadas as retas e .
A reta está na forma simétrica:
Daqui, podemos extrair o vetor direção de , que é .
A reta está definida por um sistema de equações paramétricas:
Podemos reescrever isso para encontrar o vetor direção de . Se considerarmos , então:
Assim, o vetor direção de é .

Passo 3

Agora, queremos encontrar uma reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e . Para isso, precisamos de um vetor direção que seja perpendicular a ambos e .
Uma forma de encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados é usando o produto vetorial. O produto vetorial de e nos dará exatamente o vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos o vetor direção da reta que queremos, podemos escrever a equação paramétrica da reta que passa pela origem e tem direção .
A equação paramétrica fica:
Simplificando:
onde é o parâmetro real.

Resposta

As equações paramétricas da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas e são:
onde pertence aos números reais.

Exercícios relacionados

Considere os planos
Determine uma base ORTONORMAL para contendo o máximo possível de vetores diretores do plano .
Calcular o valor de para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
Calcule: As novas coordenadas do ponto após a rotação indicada.
Determine a única reta de que é perpendicular à reta e que passa pelo ponto