Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar as equações de uma reta que passa pela origem e que é ortogonal às retas e . Isso envolve conceitos de geometria analítica no espaço 3D, especialmente vetores e ortogonalidade. Vamos precisar entender como representar retas no espaço e usar o produto vetorial para achar uma direção que seja perpendicular às duas retas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como estão dadas as retas e .
A reta está na forma simétrica:
Daqui, podemos extrair o vetor direção de , que é .
A reta está definida por um sistema de equações paramétricas:
Podemos reescrever isso para encontrar o vetor direção de . Se considerarmos , então:
Assim, o vetor direção de é .
Passo 3
Agora, queremos encontrar uma reta que passa pela origem e é ortogonal às retas v = vr times vs = i & j & k 2 & -1 & -2 1 & 3 & -1 e v = i cdot [(-1)(-1) - (-2)(3)] - j cdot [(2)(-1) - (-2)(1)] + k cdot [(2)(3) - (-1)(1)] . Para isso, precisamos de um vetor direção v = i cdot (1 + 6) - j cdot (-2 + 2) + k cdot (6 + 1) que seja perpendicular a ambos v = 7i - 0j + 7k e 7 0 7 .
Uma forma de encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados é usando o produto vetorial. O produto vetorial de e nos dará exatamente o vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular :
Calculando o determinante:
Portanto, .
Passo 4
Agora que temos o vetor direção x = 0 + 7t y = 0 + 0t z = 0 + 7t da reta que queremos, podemos escrever a equação paramétrica da reta que passa pela origem x = 7t y = 0 z = 7t e tem direção .
A equação paramétrica fica:
Simplificando:
onde é o parâmetro real.
Resposta
As equações paramétricas da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas x = 7t y = 0 z = 7t e são: