Calcule: e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a soma das posições (que na matemática a gente chama de posto) das matrizes e , além das nulidades dessas matrizes ( e ). Vamos precisar entender um pouco sobre posto e nulidade de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre posto de uma matriz. O posto de uma matriz , denotado por , é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Basicamente, ele nos diz quantas direções diferentes a matriz pode “esticar” o espaço.

Passo 3

Para calcular o posto de e , precisamos reduzir as matrizes a uma forma mais simples, geralmente usando o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss). Isso nos ajuda a identificar as colunas ou linhas que são realmente independentes.

Passo 4

Agora, sobre a nulidade de uma matriz. A nulidade de , denotada por , é a dimensão do espaço nulo de . Ou seja, é o número de soluções livres na equação . A nulidade nos dá uma ideia de quantos “graus de liberdade” existem quando solucionamos essa equação.

Passo 5

Para encontrar a nulidade de e , a gente usa a relação fundamental entre posto e nulidade, que é dada pelo Teorema da Dimensão:
onde é o número de colunas de . Isso significa que, se a gente sabe o posto de , podemos descobrir a nulidade simplesmente subtraindo o posto de .

Passo 6

Então, resumindo os passos:
  1. Calcular : Reduza a uma forma escalonada e conte o número de linhas não nulas.
  2. Calcular : Faça o mesmo para .
  3. Somar os postos: Some .
  4. Encontrar e usando o Teorema da Dimensão.

Resposta

A soma dos postos das matrizes e é , e as nulidades são e respectivamente, calculadas conforme os passos acima.

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Considere um plano
e dois pontos distintos . Demonstre que a (única) reta que passa por e está inteiramente contida em .
Calcule a dimensão dos subespaços:
[Dica: ]
Calcular o valor de para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
Considere os planos
Determine uma base ORTONORMAL para contendo o máximo possível de vetores diretores do plano .