Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a soma das posições (que na matemática a gente chama de posto) das matrizes e , além das nulidades dessas matrizes ( e ). Vamos precisar entender um pouco sobre posto e nulidade de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre posto de uma matriz. O posto de uma matriz , denotado por , é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Basicamente, ele nos diz quantas direções diferentes a matriz pode “esticar” o espaço.
Passo 3
Para calcular o posto de e , precisamos reduzir as matrizes a uma forma mais simples, geralmente usando o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss). Isso nos ajuda a identificar as colunas ou linhas que são realmente independentes.
Passo 4
Agora, sobre a nulidade de uma matriz. A nulidade de , denotada por , é a dimensão do espaço nulo de . Ou seja, é o número de soluções livres na equação . A nulidade nos dá uma ideia de quantos “graus de liberdade” existem quando solucionamos essa equação.
Passo 5
Para encontrar a nulidade de e , a gente usa a relação fundamental entre posto e nulidade, que é dada pelo Teorema da Dimensão:
onde é o número de colunas de . Isso significa que, se a gente sabe o posto de , podemos descobrir a nulidade simplesmente subtraindo o posto de .
Passo 6
Então, resumindo os passos:
Calcular : Reduza a uma forma escalonada e conte o número de linhas não nulas.
Calcular : Faça o mesmo para .
Somar os postos: Some .
Encontrar e usando o Teorema da Dimensão.
Resposta
A soma dos postos das matrizes e é , e as nulidades são e respectivamente, calculadas conforme os passos acima.