Calcule:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a soma das posições (que na matemática a gente chama de posto) das matrizes
e
, além das nulidades dessas matrizes (
e
). Vamos precisar entender um pouco sobre posto e nulidade de matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre posto de uma matriz. O posto de uma matriz
, denotado por
, é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes na matriz. Basicamente, ele nos diz quantas direções diferentes a matriz pode “esticar” o espaço.
Passo 3
Para calcular o posto de
e
, precisamos reduzir as matrizes a uma forma mais simples, geralmente usando o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss). Isso nos ajuda a identificar as colunas ou linhas que são realmente independentes.
Passo 4
Agora, sobre a nulidade de uma matriz. A nulidade de
, denotada por
, é a dimensão do espaço nulo de
. Ou seja, é o número de soluções livres na equação
. A nulidade nos dá uma ideia de quantos “graus de liberdade” existem quando solucionamos essa equação.
Passo 5
Para encontrar a nulidade de
e
, a gente usa a relação fundamental entre posto e nulidade, que é dada pelo Teorema da Dimensão:
onde
é o número de colunas de
. Isso significa que, se a gente sabe o posto de
, podemos descobrir a nulidade simplesmente subtraindo o posto de
.
Passo 6
Então, resumindo os passos:
- Calcular
: Reduza a uma forma escalonada e conte o número de linhas não nulas. - Calcular
: Faça o mesmo para . - Somar os postos: Some
. - Encontrar
e usando o Teorema da Dimensão.
Resposta
A soma dos postos das matrizes
e
é
, e as nulidades são
e
respectivamente, calculadas conforme os passos acima.