Calcular o valor de para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas, e , definidas por equações diferentes. A tarefa é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas sejam paralelas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a direção das retas e comparar essas direções.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta . A reta está definida de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro. As coeficientes de nas equações de e nos dão a direção da reta. Portanto, o vetor diretor de é:
Note que é constante, o que significa que a reta é paralela ao plano e não muda na direção .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta . A reta está dada na forma simétrica:
Da forma simétrica, podemos identificar o vetor diretor dividindo cada termo:
Assim como na reta , o termo constante indica que a reta é paralela ao plano e também não muda na direção .

Passo 4

Para que as retas e sejam paralelas, seus vetores diretores devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar tal que:
Substituindo os vetores diretores:
Isso nos dá um sistema de equações:
A última equação é sempre verdadeira e não traz informação adicional.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna as retas e paralelas é .

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e dois pontos distintos . Demonstre que a (única) reta que passa por e está inteiramente contida em .
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Determine uma base ORTONORMAL para contendo o máximo possível de vetores diretores do plano .
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas