Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
r:l x=3-3 t y=3+t z=4 s: x+56=y-1m ; z=6

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas retas, e , definidas por equações diferentes. A tarefa é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas sejam paralelas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar a direção das retas e comparar essas direções.

Passo 2

Vamos começar analisando a reta x = 3 - 3t y = 3 + t z = 4 . A reta dr = (-3, 1, 0) está definida de forma paramétrica:
Aqui, é o parâmetro. As coeficientes de nas equações de e nos dão a direção da reta. Portanto, o vetor diretor de é:
Note que é constante, o que significa que a reta é paralela ao plano e não muda na direção .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta x + 56 = y - 1m; z = 6 . A reta ds = (6, m, 0) está dada na forma simétrica:
Da forma simétrica, podemos identificar o vetor diretor dividindo cada termo:
Assim como na reta , o termo constante indica que a reta é paralela ao plano e também não muda na direção .

Passo 4

Para que as retas dr = k cdot ds e (-3, 1, 0) = k cdot (6, m, 0) sejam paralelas, seus vetores diretores devem ser proporcionais. Isso significa que existe um escalar -3 = 6k 1 = m cdot k 0 = 0 cdot k tal que:
Substituindo os vetores diretores:
Isso nos dá um sistema de equações:
A última equação é sempre verdadeira e não traz informação adicional.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
-3 = 6k implies k = -36 = -12
Agora, substituímos 1 = m cdot (-12) implies m = 1-12 = -2 na segunda equação para encontrar :

Resposta

O valor de que torna as retas e paralelas é .

Exercícios relacionados