Considere os planos pi1: x+y-2 z=1 e pi2: 2 x+y+2 z=2.
(a) Determine o ângulo entre eles.

Passo 1

Beleza, a gente tem dois planos aqui: pi1: x + y - 2z = 1 e pi2: 2x + y + 2z = 2. O assunto que vamos mexer daqui é Geometria Analítica, especificamente sobre o ângulo entre dois planos. Pra resolver isso, vamos precisar das normais dos planos e da fórmula que relaciona o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Para um plano da forma Ax + By + Cz = D, o vetor normal é (A, B, C). Então:
  • Para pi1, o vetor normal é n1 = (1, 1, -2).
  • Para pi2, o vetor normal é n2 = (2, 1, 2).

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, a gente usa a mesma coisa que faz para encontrar o ângulo entre dois vetores. A fórmula é:
costheta = n1 cdot n2|n1| |n2|
Onde n1 cdot n2 é o produto escalar e |n| é a norma do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (1)(2) + (1)(1) + (-2)(2) = 2 + 1 - 4 = -1

Passo 5

Agora, vamos calcular as normas dos vetores:
|n1| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|n2| = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
costheta = -1raiz6 times 3 = -13raiz6

Passo 7

Agora, para achar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos( -13raiz6 )

Resposta

O ângulo entre os planos é theta = arccos( dfrac-13raiz6 ), aproximadamente igual a 96,26^circ.

Exercícios relacionados