Dados u=(1,2,3), v=(3,2,0) e w=(2,0,0), ache números alpha, beta e gamma tais que alpha u+beta v+gamma w=(1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os números , e tais que uma combinação linear dos vetores , e resulte no vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de combinações lineares de vetores e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada com as componentes dos vetores:
alpha cdot (1,2,3) + beta cdot (3,2,0) + gamma cdot (2,0,0) = (1,1,1)
Isso significa que, para cada componente (x, y, z), a combinação deve ser igual a 1.

Passo 3

Vamos expandir a equação componente por componente:
  • Componente x:
alpha cdot 1 + beta cdot 3 + gamma cdot 2 = 1
  • Componente y:
alpha cdot 2 + beta cdot 2 + gamma cdot 0 = 1
  • Componente z:
alpha cdot 3 + beta cdot 0 + gamma cdot 0 = 1
Então, temos o seguinte sistema de equações:
alpha + 3beta + 2gamma = 1 2alpha + 2beta = 1 3alpha = 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
3alpha = 1 implies alpha = 13
Agora, substituímos 2(13) + 2beta = 1 implies 23 + 2beta = 1 na segunda equação:
2beta = 1 - 23 = 13 implies beta = 16
Subtraindo 13 + 3(16) + 2gamma = 1 de ambos os lados:
13 + 12 + 2gamma = 1 implies 56 + 2gamma = 1
Por fim, substituímos 2gamma = 16 implies gamma = 112 e na primeira equação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

Os números que satisfazem a equação são:
alpha = 13, beta = 16, gamma = 112

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