Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os números , e tais que uma combinação linear dos vetores , e resulte no vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de combinações lineares de vetores e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores e resolver para , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada com as componentes dos vetores:
Isso significa que, para cada componente (x, y, z), a combinação deve ser igual a 1.
Passo 3
Vamos expandir a equação componente por componente:
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
3alpha = 1 implies alpha = 13
Agora, substituímos 2(13) + 2beta = 1 implies 23 + 2beta = 1 na segunda equação:
2beta = 1 - 23 = 13 implies beta = 16
Subtraindo 13 + 3(16) + 2gamma = 1 de ambos os lados:
13 + 12 + 2gamma = 1 implies 56 + 2gamma = 1
Por fim, substituímos 2gamma = 16 implies gamma = 112 e na primeira equação: