Ache números
e
, ambos diferentes de zero, tais que
tenha a primeira coluna nula.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os números
e
, que são diferentes de zero, de forma que a combinação
tenha a primeira coluna igual a zero. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações para achar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter a primeira coluna nula. Isso quer dizer que, ao somarmos
,
e
, o resultado na primeira coluna deve ser zero. Vamos representar cada vetor/matriz com suas colunas para facilitar.
Passo 3
Vamos escrever a equação para a primeira coluna:
Aqui,
,
e
representam os elementos da primeira coluna dos vetores/matrizes
,
e
, respectivamente.
Passo 4
Agora, temos uma equação com duas incógnitas (
e
). Para resolver isso, precisamos de outra equação, que pode vir das outras colunas ou de condições adicionais do problema. Vamos supor que temos outra coluna para considerar:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações:
Esse sistema pode ser resolvido usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.
Passo 6
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
para eliminar
:
Subtraindo as duas equações:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, substituímos o valor de
em uma das equações originais para achar
. Vamos usar a primeira equação:
Substituindo
:
Passo 9
Simplificando a expressão de
:
Resposta
Os valores de
e
que satisfazem a condição são:
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que
(b) equidistam dos planos
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Mostre que as operações definidas no texto fazem realmente dos conjuntos
e
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Considere os planos
e
.
(a) Determine o ângulo entre eles.
(a) Determine o ângulo entre eles.