Ache números alpha e beta, ambos diferentes de zero, tais que alpha a+beta b+c tenha a primeira coluna nula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os números alpha e beta, que são diferentes de zero, de forma que a combinação alpha a + beta b + c tenha a primeira coluna igual a zero. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a primeira coluna nula. Isso quer dizer que, ao somarmos alpha a, beta b e c, o resultado na primeira coluna deve ser zero. Vamos representar cada vetor/matriz com suas colunas para facilitar.

Passo 3

Vamos escrever a equação para a primeira coluna:
alpha cdot a1 + beta cdot b1 + c1 = 0
Aqui, a1, b1 e c1 representam os elementos da primeira coluna dos vetores/matrizes a, b e c, respectivamente.

Passo 4

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( alpha e beta). Para resolver isso, precisamos de outra equação, que pode vir das outras colunas ou de condições adicionais do problema. Vamos supor que temos outra coluna para considerar:
alpha cdot a2 + beta cdot b2 + c2 = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
alpha cdot a1 + beta cdot b1 = -c1 alpha cdot a2 + beta cdot b2 = -c2
Esse sistema pode ser resolvido usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.

Passo 6

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Multiplicamos a primeira equação por b2 e a segunda por b1 para eliminar beta:
alpha cdot a1 b2 + beta cdot b1 b2 = -c1 b2 alpha cdot a2 b1 + beta cdot b2 b1 = -c2 b1
Subtraindo as duas equações:
alpha (a1 b2 - a2 b1) = -c1 b2 + c2 b1

Passo 7

Resolvendo para alpha:
alpha = -c1 b2 + c2 b1a1 b2 - a2 b1

Passo 8

Agora, substituímos o valor de alpha em uma das equações originais para achar beta. Vamos usar a primeira equação:
beta = -c1 - alpha a1b1
Substituindo alpha:
beta = -c1 - ( -c1 b2 + c2 b1a1 b2 - a2 b1 ) a1b1

Passo 9

Simplificando a expressão de beta:
beta = -c1 (a1 b2 - a2 b1) + a1 c1 b2 - a1 c2 b1b1 (a1 b2 - a2 b1)
beta = -c1 a1 b2 + c1 a2 b1 + a1 c1 b2 - a1 c2 b1b1 (a1 b2 - a2 b1)
beta = c1 a2 b1 - a1 c2 b1b1 (a1 b2 - a2 b1)
beta = b1 (c1 a2 - a1 c2)b1 (a1 b2 - a2 b1)
beta = c1 a2 - a1 c2a1 b2 - a2 b1

Resposta

Os valores de alpha e beta que satisfazem a condição são:
alpha = -c1 b2 + c2 b1a1 b2 - a2 b1 e beta = c1 a2 - a1 c2a1 b2 - a2 b1

Exercícios relacionados