Ache números e , ambos diferentes de zero, tais que tenha a primeira coluna nula.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os números e , que são diferentes de zero, de forma que a combinação tenha a primeira coluna igual a zero. Vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a primeira coluna nula. Isso quer dizer que, ao somarmos , e , o resultado na primeira coluna deve ser zero. Vamos representar cada vetor/matriz com suas colunas para facilitar.

Passo 3

Vamos escrever a equação para a primeira coluna:
Aqui, , e representam os elementos da primeira coluna dos vetores/matrizes , e , respectivamente.

Passo 4

Agora, temos uma equação com duas incógnitas ( e ). Para resolver isso, precisamos de outra equação, que pode vir das outras colunas ou de condições adicionais do problema. Vamos supor que temos outra coluna para considerar:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações:
Esse sistema pode ser resolvido usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação.

Passo 6

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Multiplicamos a primeira equação por e a segunda por para eliminar :
Subtraindo as duas equações:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, substituímos o valor de em uma das equações originais para achar . Vamos usar a primeira equação:
Substituindo :

Passo 9

Simplificando a expressão de :

Resposta

Os valores de e que satisfazem a condição são:

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