Mostre que as operações definidas no texto fazem realmente dos conjuntos
e
espaços vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que os conjuntos
,
e
são espaços vetoriais com as operações definidas no texto. Isso está relacionado ao estudo dos espaços vetoriais da álgebra linear. Para resolver isso, precisamos verificar se essas operações (adição de vetores e multiplicação por escalar) satisfazem os axiomas de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde podemos fazer duas operações: adição de vetores e multiplicação por escalar (número real). Para que um conjunto seja um espaço vetorial, essas operações devem obedecer a certos axiomas, como associatividade, comutatividade da adição, existência de um elemento nulo, entre outros.
Passo 3
Vamos começar com
, que é o conjunto de todos os vetores com
componentes reais. As operações definidas são:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Passo 4
Vamos verificar os axiomas para
:
- Associatividade da adição:
. Isso funciona porque a soma dos números reais é associativa. - Comutatividade da adição:
. Também válida, já que a ordem na soma dos reais não altera o resultado. - Elemento neutro da adição: Existe o vetor zero
que, somado a qualquer vetor, não muda o vetor. - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, existe tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
. - Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares:
.
Todos esses axiomas são satisfeitos em
, então
é um espaço vetorial.
Passo 5
Agora, vamos para
, que é o conjunto de todas as matrizes
com entradas reais. As operações são:
- Adição de matrizes: Soma entrada a entrada.
- Multiplicação por escalar: Multiplica cada entrada da matriz pelo escalar.
Passo 6
Verificamos os mesmos axiomas para
:
- Associatividade da adição: Funciona porque é associativa para cada entrada.
- Comutatividade da adição: A ordem não altera a soma de cada entrada.
- Elemento neutro da adição: A matriz zero.
- Elemento inverso da adição: Para cada matriz, existe a matriz com entradas negativas.
- Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
. - Distributividade da multiplicação sobre adição de matrizes:
. - Distributividade da multiplicação sobre adição de escalares:
.
Como todas as propriedades são atendidas,
também é um espaço vetorial.
Passo 7
Por último, vamos considerar
, que é o conjunto de todas as funções de um conjunto
para
. As operações são:
- Adição de funções:
- Multiplicação por escalar:
Passo 8
Vamos verificar os axiomas para
:
- Associatividade da adição:
para todas as . - Comutatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: A função zero, que retorna 0 para todo
. - Elemento inverso da adição: Para cada função
, existe tal que . - Compatibilidade da multiplicação por escalar:
. - Elemento neutro da multiplicação por escalar:
. - Distributividade da multiplicação sobre a adição de funções:
. - Distributividade da multiplicação sobre a adição de escalares:
.
Como todas essas propriedades são verdadeiras para funções,
também é um espaço vetorial.
Resposta
Assim, mostramos que
,
e
são realmente espaços vetoriais, já que satisfazem todos os axiomas necessários para serem considerados como tais.
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e
, ambos diferentes de zero, tais que
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e
.
(a) Determine o ângulo entre eles.
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e
, ache números
e
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.