Considere o polinômio dado por . Determine qual dos intervalos abaixo contém pelo menos uma raiz de .
(Até 3 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos o polinômio e queremos descobrir qual dos intervalos fornecidos contém pelo menos uma raiz desse polinômio. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar onde uma função contínua cruza o eixo x, ou seja, onde ela tem raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Intermediário: se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos e , então existe pelo menos uma raiz entre e . Ou seja, se , então há uma raiz no intervalo .
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de nas extremidades de cada intervalo fornecido:
a)
b)
(já calculado)
c)
(já calculado)
d)
(já calculado)
e)
(já calculado)
Passo 4
Agora, vamos analisar os sinais dos valores de nos extremos de cada intervalo:
a) : e são ambos negativos ( e ), então não há mudança de sinal. Nenhuma raiz nesse intervalo.
b) : e , ambos negativos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz aqui.
c) : e . Aqui temos uma mudança de sinal de negativo para positivo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
d) : e , ambos positivos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz.
e) : e , ambos positivos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz.
Resposta
O intervalo contém pelo menos uma raiz do polinômio .