Considere o polinômio dado por
. Determine qual dos intervalos abaixo contém pelo menos uma raiz de
.
(Até 3 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
(Até 3 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. Temos o polinômio
e queremos descobrir qual dos intervalos fornecidos contém pelo menos uma raiz desse polinômio. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a identificar onde uma função contínua cruza o eixo x, ou seja, onde ela tem raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Intermediário: se uma função contínua
assume valores de sinais opostos em dois pontos
e
, então existe pelo menos uma raiz entre
e
. Ou seja, se
, então há uma raiz no intervalo
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de
nas extremidades de cada intervalo fornecido:
a)
b)
-
(já calculado) -
c)
-
(já calculado) -
d)
-
(já calculado) -
e)
-
(já calculado) -
Passo 4
Agora, vamos analisar os sinais dos valores de
nos extremos de cada intervalo:
a)
:
e
são ambos negativos (
e
), então não há mudança de sinal. Nenhuma raiz nesse intervalo.
b)
:
e
, ambos negativos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz aqui.
c)
:
e
. Aqui temos uma mudança de sinal de negativo para positivo. Segundo o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
d)
:
e
, ambos positivos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz.
e)
:
e
, ambos positivos. Sem mudança de sinal. Nenhuma raiz.
Resposta
O intervalo
contém pelo menos uma raiz do polinômio
.