Verifique se as funções de variável complexas são contínuas no ponto em destaque.
em
.
Passo 1
Vamos verificar se a função de variável complexa
é contínua no ponto
. A matéria envolvida é a continuidade de funções complexas. Para isso, vamos precisar entender os limites laterais da função quando
se aproxima de
por baixo e por cima, e comparar com o valor da função em
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela parte inferior, ou seja, quando
. Nessa região, a função é definida por
, onde
representa o conjugado de
.
Passo 3
Sabendo que
, o conjugado
. Portanto,
. Isso significa que, para
,
é simplesmente duas vezes a parte real de
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite quando
se aproxima de
pela parte inferior. Como
está se aproximando de
, podemos considerar
aproximando-se de 0 (já que
). Assim, o limite inferior é:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
pela parte superior, ou seja, quando
. Nessa região, a função é definida por
.
Passo 6
Sabemos que
, já que:
Portanto, para
,
.
Passo 7
Assim, o limite superior é:
Passo 8
Para que a função seja contínua em
, os limites laterais devem ser iguais e também iguais ao valor da função em
. Vamos verificar o valor de
.
Passo 9
Como
está na região
, temos:
Passo 10
Comparando os limites e o valor da função:
Os limites laterais não são iguais (
), portanto a função não é contínua no ponto
.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções de variável complexas são contínuas no ponto em destaque.
, em
.
Calcule os limites das funções de variáveis complexas.
,
é um real puro.
Resolva a inequação
.
Considere o polinômio dado por
. Determine qual dos intervalos abaixo contém pelo menos uma raiz de
.
(Até 3 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)
(Até 3 pontos)
a)
b)
c)
d)
e)