Sejam a e b constantes reais não nulas e f: R -> R uma função contínua dada por:
(Até 4 pontos)
f(x) = { (a * |x-2|) / (x-2), x < 2; 8, x = 2; b * ((x^2 - 4) / (x - 2)), x > 2 }
É CORRETO afirmar:
a) a + b = -4
b) a + b = -2
c) a + b = 0
d) a + b = 2
e) a + b = 8

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua e está definida de forma diferente em três intervalos:
  • Para ,
  • Para ,
  • E para .
Queremos descobrir a soma das constantes e que fazem a função continuar sem “quebras”. Para isso, vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções e analisar os limites da função nos pontos de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando nos aproximamos desse ponto pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função naquele ponto. No caso, queremos que seja contínua em .
Isso significa que:

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ).
Para , a função é:
Sabemos que quando , então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ).
Para , a função é:
Note que , então:
Portanto:

Passo 5

Sabemos que e, para a função ser contínua em , os limites devem satisfazer:
Então:
Resolvendo essas equações:

Resposta

Assim, a soma das constantes é:
Nenhuma das opções apresentadas na questão corresponde a . Pode ser que haja um erro nas alternativas fornecidas.

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