Considere os polinômios p(x)=x^2+2 x-3, q(x)=2 x^2- 3 x+4 e r(x)=a x^2-1. O conjunto p, q, r é linearmente dependente para a igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar para qual valor de o conjunto de polinômios é linearmente dependente. Estamos lidando com polinômios de segundo grau, então nosso conteúdo envolve Álgebra Linear, especificamente a dependência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz com os coeficientes dos polinômios e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes de cada polinômio:
  • tem coeficientes , e .
  • tem coeficientes , e .
  • tem coeficientes , (porque não tem termo de ) e .

Passo 3

Agora, montamos a matriz com esses coeficientes:
1 & 2 & -3 2 & -3 & 4 a & 0 & -1

Passo 4

Para que os polinômios sejam linearmente dependentes, o determinante dessa matriz deve ser igual a zero. Vamos calcular o determinante:
Determinante = 1 cdot (-3 cdot (-1) - 4 cdot 0) - 2 cdot (2 cdot (-1) - 4 cdot a) + (-3) cdot (2 cdot 0 - (-3) cdot a)

Passo 5

Simplificando cada parte:
= 1 cdot (3 - 0) - 2 cdot (-2 - 4a) + (-3) cdot (0 + 3a)
= 3 - 2 cdot (-2 - 4a) - 9a
= 3 + 4 + 8a - 9a
= 7 - a

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de 7 - a = 0 :
a = 7

Resposta

O conjunto é linearmente dependente para igual a 7.

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