Verifique se o subconjunto W é um subespaço do espaço vetorial V :
(g) W=(x, y, z) in R^3: x+2 y=3 z, V=R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. O conjunto não é vazio.
  2. Fechamento sob adição de vetores.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se 0 + 2 cdot 0 = 3 cdot 0 implies 0 = 0 não é vazio. Isso significa que o conjunto deve conter o vetor zero. O vetor zero em é .
Substituindo , e na equação :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a . Então, não é vazio.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se x1 + 2y1 = 3z1 e x2 + 2y2 = 3z2 é fechado sob adição de vetores. Ou seja, se pegar dois vetores quaisquer em (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = x1 + 2y1 + x2 + 2y2 = 3z1 + 3z2 = 3(z1 + z2) , a soma deles também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores e pertencentes a . Isso significa que:
A soma dos vetores é .
Vamos verificar se também satisfaz a equação de :
Portanto, também satisfaz , o que significa que está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se kx + 2ky = k(x + 2y) = k(3z) = 3(kz) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se você multiplicar qualquer vetor de por um número escalar, o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é .
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Então, também satisfaz , o que significa que está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, é um subespaço de .

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