Verifique se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial :
(g)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar três coisas:
  1. O conjunto não é vazio.
  2. Fechamento sob adição de vetores.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se não é vazio. Isso significa que o conjunto deve conter o vetor zero. O vetor zero em é .
Substituindo , e na equação :
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a . Então, não é vazio.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se é fechado sob adição de vetores. Ou seja, se pegar dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores e pertencentes a . Isso significa que:
A soma dos vetores é .
Vamos verificar se também satisfaz a equação de :
Portanto, também satisfaz , o que significa que está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se você multiplicar qualquer vetor de por um número escalar, o resultado também deve estar em .
Pegamos um vetor em e um escalar . A multiplicação por escalar é .
Vamos verificar se satisfaz a equação de :
Então, também satisfaz , o que significa que está em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Considere a função . Qual das seguintes alternativas é verdadeira quando se aproxima de 2 ?
a) 0 .
c) -1 .
b) 4 .
d) O limite é indeterminado.
Sejam e vetores quaisquer de . Mostre que os vetores
são linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinação linear nula (não trivial) entre e .
Considere os polinômios e . O conjunto é linearmente dependente para igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
Ele é um subespaço de ? Se for, determine uma base ortogonal para .