Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer. Vamos precisar verificar três coisas:
- O conjunto
não é vazio. - Fechamento sob adição de vetores.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se
não é vazio. Isso significa que o conjunto deve conter o vetor zero. O vetor zero em
é
.
Substituindo
,
e
na equação
:
Como a equação é satisfeita, o vetor zero pertence a
. Então,
não é vazio.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se
é fechado sob adição de vetores. Ou seja, se pegar dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores
e
pertencentes a
. Isso significa que:
A soma dos vetores é
.
Vamos verificar se
também satisfaz a equação de
:
Portanto,
também satisfaz
, o que significa que está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que, se você multiplicar qualquer vetor de
por um número escalar, o resultado também deve estar em
.
Pegamos um vetor
em
e um escalar
. A multiplicação por escalar é
.
Vamos verificar se
satisfaz a equação de
:
Então,
também satisfaz
, o que significa que está em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar,
é um subespaço de
.