Prove que o disco D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1 é um conjunto convexo.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que o disco é um conjunto convexo. Estamos lidando com conceitos de geometria e convexidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e verificar se o disco satisfaz essa propriedade.

Passo 2

Primeiro, vamos explicar o que é um conjunto convexo. Um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que liga esses pontos também está completamente dentro de . Ou seja, se você pegar dois pontos no conjunto e desenhar uma linha entre eles, toda a linha deve estar dentro do conjunto para que ele seja convexo.

Passo 3

Agora, vamos pegar dois pontos quaisquer dentro do disco . Vamos chamar esses pontos de e , onde e .

Passo 4

Para verificar se todo o segmento de reta entre P(t) = (1 - t)P1 + tP2 = ((1 - t)x1 + t x2,, (1 - t)y1 + t y2) e está dentro de , consideramos um ponto qualquer no segmento, que pode ser representado como:
onde varia de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular a distância de ((1 - t)x1 + t x2)^2 + ((1 - t)y1 + t y2)^2 à origem:
Explicando, estamos usando a propriedade de que a combinação convexa de pontos dentro do disco não sairá dele. Ao expandir e simplificar essa expressão, veremos que ela sempre será menor ou igual a 1, o que significa que está dentro de para qualquer entre 0 e 1.

Resposta

Portanto, o disco é um conjunto convexo.

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