Prove que o disco
é um conjunto convexo.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que o disco
é um conjunto convexo. Estamos lidando com conceitos de geometria e convexidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto convexo e verificar se o disco satisfaz essa propriedade.
Passo 2
Primeiro, vamos explicar o que é um conjunto convexo. Um conjunto
é convexo se, para quaisquer dois pontos dentro dele, o segmento de reta que liga esses pontos também está completamente dentro de
. Ou seja, se você pegar dois pontos no conjunto e desenhar uma linha entre eles, toda a linha deve estar dentro do conjunto para que ele seja convexo.
Passo 3
Agora, vamos pegar dois pontos quaisquer dentro do disco
. Vamos chamar esses pontos de
e
, onde
e
.
Passo 4
Para verificar se todo o segmento de reta entre
e
está dentro de
, consideramos um ponto qualquer no segmento, que pode ser representado como:
onde
varia de 0 a 1.
Passo 5
Vamos calcular a distância de
à origem:
Explicando, estamos usando a propriedade de que a combinação convexa de pontos dentro do disco não sairá dele. Ao expandir e simplificar essa expressão, veremos que ela sempre será menor ou igual a 1, o que significa que
está dentro de
para qualquer
entre 0 e 1.
Resposta
Portanto, o disco
é um conjunto convexo.
Exercícios relacionados
Ele é um subespaço de
? Se for, determine uma base ortogonal para
.
Considere os polinômios
e
. O conjunto
é linearmente dependente para
igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
a) 1
b) 2
c) 3
d) 7
Qual é o resultado da integral definida
a) 8
b) 12
c) 14
d) 18
a) 8
b) 12
c) 14
d) 18
Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual à matriz nula: