Considere o ponto e o plano . Calcule o ponto no plano que satisfaz pts] a condição: A distância de a é a menor possível dentre todos as distâncias de a qualquer outro ponto do plano. Assinale o valor de com aproximação na terceira casa decimal:
A. 1.111
B. 1.107
C. 1.117
D. 1.113
E. 1.109
F. 1.115

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto que está no plano e que está mais próximo do ponto . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com distância entre ponto e plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para encontrar a projeção de um ponto sobre um plano . A fórmula é:
Isso significa que vamos subtrair do ponto uma certa quantidade na direção do vetor normal do plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa situação:
  • Plano , então , , , e (colocamos o 8 para o outro lado da equação).
  • Ponto , então , , .

Passo 4

Vamos calcular o numerador da fração:
E o denominador:
Então, a fração fica .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar esse resultado pelo vetor :

Passo 6

Subtraímos isso do ponto :
Simplificando as frações:

Passo 7

Agora, queremos calcular o produto escalar de com o vetor :

Resposta

A opção correta é A. 1.111.

Exercícios relacionados

Calcular:
a)
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. e
Considere os pontos e e imagine uma circunferência construída no plano que
pts]
contem com centro em e que tangencia a linha reta que passa pelo segmento . Calcule a área dessa circunferência, assinalando a resposta com aproximação na terceira casa decimal (use
A. 46.291
B. 46.293
C. 46.297
D. 46.299
E. 46.295
F. 46.301