Considere o ponto
e o plano
. Calcule o ponto
no plano que satisfaz
pts] a condição: A distância de
a
é a menor possível dentre todos as distâncias de
a qualquer outro ponto do plano. Assinale o valor de
com aproximação na terceira casa decimal:
A. 1.111
B. 1.107
C. 1.117
D. 1.113
E. 1.109
F. 1.115
A. 1.111
B. 1.107
C. 1.117
D. 1.113
E. 1.109
F. 1.115
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto
que está no plano
e que está mais próximo do ponto
. Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com distância entre ponto e plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para encontrar a projeção de um ponto
sobre um plano
. A fórmula é:
Isso significa que vamos subtrair do ponto
uma certa quantidade na direção do vetor normal do plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores na nossa situação:
- Plano
, então , , , e (colocamos o 8 para o outro lado da equação). - Ponto
, então , , .
Passo 4
Vamos calcular o numerador da fração:
E o denominador:
Então, a fração fica
.
Passo 5
Agora, vamos multiplicar esse resultado pelo vetor
:
Passo 6
Subtraímos isso do ponto
:
Simplificando as frações:
Passo 7
Agora, queremos calcular o produto escalar de
com o vetor
:
Resposta
A opção correta é A. 1.111.