Considere o ponto Q(2,-3,2) e o plano pi: 3 x-3 y-3 z=8. Calcule o ponto P no plano que satisfaz [2 pts] a condição: A distância de Q a P é a menor possível dentre todos as distâncias de Q a qualquer outro ponto do plano. Assinale o valor de P cdot(1,1,1) com aproximação na terceira casa decimal:
A. 1.111
B. 1.107
C. 1.117
D. 1.113
E. 1.109
F. 1.115

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o ponto que está no plano e que está mais próximo do ponto . Basicamente, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com distância entre ponto e plano. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de projeção de um ponto sobre um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para encontrar a projeção de um ponto P = Q - a x0 + b y0 + c z0 + da^2 + b^2 + c^2 cdot (a, b, c) sobre um plano . A fórmula é:
Isso significa que vamos subtrair do ponto uma certa quantidade na direção do vetor normal do plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa situação:
  • Plano , então , , , e (colocamos o 8 para o outro lado da equação).
  • Ponto , então , , .

Passo 4

Vamos calcular o numerador da fração:
a x0 + b y0 + c z0 + d = 3 cdot 2 + (-3) cdot (-3) + (-3) cdot 2 + (-8) = 6 + 9 - 6 - 8 = 1
E o denominador:
a^2 + b^2 + c^2 = 3^2 + (-3)^2 + (-3)^2 = 9 + 9 + 9 = 27
Então, a fração fica .

Passo 5

Agora, vamos multiplicar esse resultado pelo vetor 127 cdot (3, -3, -3) = ( 327, -327, -327 ) = ( 19, -19, -19 ) :

Passo 6

Subtraímos isso do ponto P = ( 2, -3, 2 ) - ( 19, -19, -19 ) = ( 2 - 19, -3 + 19, 2 + 19 ) :
P = ( 189 - 19, -279 + 19, 189 + 19 ) = ( 179, -269, 199 )
Simplificando as frações:

Passo 7

Agora, queremos calcular o produto escalar de P cdot (1, 1, 1) = 179 cdot 1 + ( -269 ) cdot 1 + 199 cdot 1 = 17 - 26 + 199 = 109 approx 1,111 com o vetor :

Resposta

A opção correta é A. 1.111.

Exercícios relacionados