Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar vetores que geram o subespaço
. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse conjunto de vetores de forma simplificada usando parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos observar as condições que definem o subespaço
. Temos duas equações:
Isso significa que cada componente do vetor
está relacionada ao valor de
. Podemos usar
como parâmetro para expressar
e
em termos de
.
Passo 3
Vamos chamar
de
, onde
é um número real qualquer. Assim, podemos escrever:
Agora, podemos expressar o vetor
em termos de
:
Passo 4
Esse vetor pode ser fatorado pelo parâmetro
:
Isso mostra que todo vetor no subespaço
é uma combinação linear do vetor
.
Resposta
Um vetor gerador para o subespaço
é
.