Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. A=(x, y, z) in R^3 mid x=-2 y e z=-3 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar vetores que geram o subespaço . Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esse conjunto de vetores de forma simplificada usando parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos observar as condições que definem o subespaço x = -2y . Temos duas equações:
z = -3y
Isso significa que cada componente do vetor está relacionada ao valor de . Podemos usar como parâmetro para expressar e em termos de .

Passo 3

Vamos chamar y = t de x = -2t , onde z = -3t é um número real qualquer. Assim, podemos escrever:
(x, y, z) = (-2t, t, -3t)
Agora, podemos expressar o vetor em termos de :

Passo 4

Esse vetor pode ser fatorado pelo parâmetro (x, y, z) = t cdot (-2, 1, -3) :
Isso mostra que todo vetor no subespaço é uma combinação linear do vetor .

Resposta

Um vetor gerador para o subespaço é .

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