Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A gente tem que encontrar vetores que gerem o subespaço
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Pra resolver isso, vamos precisar entender como expressar as soluções dessa equação em termos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação que define o subespaço
. A equação é:
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
Isso significa que qualquer vetor em
tem a primeira coordenada definida por
e
.
Passo 3
Agora, vamos expressar um vetor genérico
de
usando os parâmetros
e
:
Aqui,
e
podem ser quaisquer números reais, então vamos tratar eles como variáveis livres.
Passo 4
Vamos reescrever esse vetor como uma combinação linear das variáveis
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser formado combinando os vetores
e
.
Passo 5
Finalmente, para que esses vetores sejam geradores, eles precisam ser linearmente independentes. Olhando para eles, fica claro que nenhum é múltiplo do outro, então eles são independentes e formam uma base para
.
Resposta
Os vetores geradores para
são
e
.