Encontre vetores geradores para cada um dos subespaços descritos abaixo. D=(x, y, z) in R^3 mid x+y+3 z=0

Passo 1

Beleza, vamos começar! A gente tem que encontrar vetores que gerem o subespaço . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Pra resolver isso, vamos precisar entender como expressar as soluções dessa equação em termos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação que define o subespaço x + y + 3z = 0 . A equação é:
x = -y - 3z
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :
Isso significa que qualquer vetor em tem a primeira coordenada definida por e .

Passo 3

Agora, vamos expressar um vetor genérico (x, y, z) = (-y - 3z, y, z) de usando os parâmetros e :
Aqui, e podem ser quaisquer números reais, então vamos tratar eles como variáveis livres.

Passo 4

Vamos reescrever esse vetor como uma combinação linear das variáveis (x, y, z) = y cdot (-1, 1, 0) + z cdot (-3, 0, 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser formado combinando os vetores e .

Passo 5

Finalmente, para que esses vetores sejam geradores, eles precisam ser linearmente independentes. Olhando para eles, fica claro que nenhum é múltiplo do outro, então eles são independentes e formam uma base para .

Resposta

Os vetores geradores para são e .

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