Considere os pontos $A=\left(1, \frac{1}{2}\right), B=(4,2)$ e $C=\left(-\frac{1}{2}, 3\right)$. a) Determine o baricentro $G$ do triângulo $A B C$. b) Encontre os pontos médios $X, Y$ e $Z$ dos lados $B C, A C$ e $A B$, respectivamente. c) Verifique que $\overrightarrow{A X}+\overrightarrow{B Y}+\overrightarrow{C Z}=\overrightarrow{0}$. Essa propriedade vale em qualquer triângulo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três pontos no plano: \( A = \left(1, \frac{1}{2}\right) \), \( B = (4, 2) \) e \( C = \left(-\frac{1}{2}, 3\right) \). A gente vai trabalhar com algumas propriedades de triângulos: determinar o baricentro, encontrar os pontos médios dos lados e verificar uma relação entre vetores. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como fórmulas de baricentro, pontos médios e operações com vetores.

Passo 2

Vamos começar pela **parte a**, que pede para determinar o baricentro \( G \) do triângulo \( ABC \). O **baricentro** de um triângulo é o ponto onde as três medianas se encontram, ou seja, as linhas que vão de cada vértice até o ponto médio do lado oposto. A fórmula para encontrar as coordenadas do baricentro \( G \) é a média aritmética das coordenadas dos vértices: \[ G_x = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad G_y = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \] Vamos aplicar isso: \[ G_x = \frac{1 + 4 + \left(-\frac{1}{2}\right)}{3} = \frac{1 + 4 - 0.5}{3} = \frac{4.5}{3} = 1.5 \] \[ G_y = \frac{\frac{1}{2} + 2 + 3}{3} = \frac{0.5 + 2 + 3}{3} = \frac{5.5}{3} \approx 1.8333 \]

Passo 3

Agora vamos para a **parte b**, que quer que a gente encontre os pontos médios \( X, Y \) e \( Z \) dos lados \( BC, AC \) e \( AB \), respectivamente. O **ponto médio** de um segmento que liga dois pontos \( P(x_1, y_1) \) e \( Q(x_2, y_2) \) é dado por: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Vamos calcular cada um: - **Ponto médio \( X \) de \( BC \):** \[ X_x = \frac{4 + \left(-\frac{1}{2}\right)}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \] \[ X_y = \frac{2 + 3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \] Então, \( X = \left(1.75, 2.5\right) \). - **Ponto médio \( Y \) de \( AC \):** \[ Y_x = \frac{1 + \left(-\frac{1}{2}\right)}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \] \[ Y_y = \frac{\frac{1}{2} + 3}{2} = \frac{3.5}{2} = 1.75 \] Então, \( Y = \left(0.25, 1.75\right) \). - **Ponto médio \( Z \) de \( AB \):** \[ Z_x = \frac{1 + 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \] \[ Z_y = \frac{\frac{1}{2} + 2}{2} = \frac{2.5}{2} = 1.25 \] Então, \( Z = \left(2.5, 1.25\right) \).

Passo 4

Agora, vamos para a **parte c**, onde precisamos verificar que \( \overrightarrow{A X} + \overrightarrow{B Y} + \overrightarrow{C Z} = \overrightarrow{0} \). Al��m disso, vamos discutir se essa relação vale para qualquer triângulo. Primeiro, vamos entender o que significa \( \overrightarrow{A X} \). É o vetor que vai do ponto \( A \) até o ponto médio \( X \) de \( BC \). Para encontrar esse vetor, subtraímos as coordenadas de \( A \) das de \( X \): \[ \overrightarrow{A X} = (X_x - A_x, X_y - A_y) = (1.75 - 1, 2.5 - 0.5) = (0.75, 2) \] Fazemos o mesmo para os outros vetores: \[ \overrightarrow{B Y} = (0.25 - 4, 1.75 - 2) = (-3.75, -0.25) \] \[ \overrightarrow{C Z} = (2.5 - \left(-\frac{1}{2}\right), 1.25 - 3) = (3, -1.75) \] Agora, somamos os três vetores: \[ \overrightarrow{A X} + \overrightarrow{B Y} + \overrightarrow{C Z} = (0.75 - 3.75 + 3, 2 - 0.25 - 1.75) = (0, 0) \] Então, realmente \( \overrightarrow{A X} + \overrightarrow{B Y} + \overrightarrow{C Z} = \overrightarrow{0} \). Sobre a generalização: **Sim**, essa propriedade é válida para qualquer triângulo. Isso ocorre porque as medianas sempre se equilibram no baricentro, e a soma desses vetores resultará no vetor nulo.

Resposta

a) O baricentro \( G \) do triângulo \( ABC \) é \( G = \left(1.5, \, 1.8333\right) \). b) Os pontos médios são: - \( X = \left(1.75, \, 2.5\right) \) - \( Y = \left(0.25, \, 1.75\right) \) - \( Z = \left(2.5, \, 1.25\right) \) c) A soma dos vetores \( \overrightarrow{A X} + \overrightarrow{B Y} + \overrightarrow{C Z} \) é igual a \( \overrightarrow{0} \). Essa propriedade vale para qualquer triângulo.

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