Considere a equação de segundo grau nas variáveis x e y, com A neq 0 :
A x^2+A y^2+B x+C y+D=0
a) Mostre que a equação representa:
(i) um círculo se e só se B^2+C^2-4 A D>0;
(ii) um ponto se e só se B^2+C^2-4 A D=0;
(iii) o conjunto vazio se e só se B^2+C^2-4 A D<0.
b) Decida se cada uma das equações abaixo define um círculo, um ponto ou o conjunto vazio:
(i) 2 x^2+2 y^2-3 x+y-1=0
(iii) x^2+y^2-10 x+2 y+26=0
(ii) -x^2-y^2+6 x-4 y+3=0
(iv) 4 x^2+4 y^2-4 x-8 y+21=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a equação de segundo grau:
A x^2 + A y^2 + B x + C y + D = 0,
onde . A matéria envolvida aqui é geometria analítica, especificamente sobre as curvas representadas por equações de segundo grau no plano cartesiano. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar se essa equação representa um círculo, um ponto ou se não tem solução (conjunto vazio). Isso vai envolver completar o quadrado e analisar o discriminante da equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação. Como temos A x^2 + B x + A y^2 + C y + D = 0 e A(x^2 + BAx) + A(y^2 + CAy) + D = 0 com o mesmo coeficiente , podemos reescrever a equação assim:
Vamos agrupar os termos de e de :
Isso nos ajuda a preparar a equação para completar o quadrado.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis x^2 + BAx = (x + B2A)^2 - (B2A)^2 e y^2 + CAy = (y + C2A)^2 - (C2A)^2 . Lembra como completar o quadrado? É basicamente transformar expressões quadráticas em quadrados perfeitos.
Para o termo de :
  • Pegamos .
  • O termo que adicionamos e subtraímos é .
  • Então:
Fazemos o mesmo para o termo de :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
A[(x + B2A)^2 - (B2A)^2] + A[(y + C2A)^2 - (C2A)^2] + D = 0
Distribuindo o A(x + B2A)^2 - A(B2A)^2 + A(y + C2A)^2 - A(C2A)^2 + D = 0 :
A(x + B2A)^2 + A(y + C2A)^2 = A(B2A)^2 + A(C2A)^2 - D
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a equação. Primeiro, note que:
A(B2A)^2 = B^24A, e A(C2A)^2 = C^24A
Portanto, a equação fica:
A(x + B2A)^2 + A(y + C2A)^2 = B^2 + C^24A - D
Vamos chamar o lado direito de R = B^2 + C^24A - D :
A(x + B2A)^2 + A(y + C2A)^2 = R
Então, a equação é:

Passo 6

Para que a equação represente um círculo real, precisamos que o lado direito seja positivo, já que estamos falando de somas de quadrados multiplicadas por .
Se , temos uma soma de quadrados igual a um número positivo, o que representa um círculo.
Se , os quadrados precisam ser zero, o que só acontece quando e , ou seja, um ponto.
Se , não há soluções reais porque não existe soma de quadrados que dê um número negativo. Portanto, a equação não representa nada no plano real (conjunto vazio).

Passo 7

Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por para simplificar a análise:
Portanto:
  • se e somente se
  • se e somente se
  • se e somente se

Resposta

Assim, mostramos que:
  • (i) A equação representa um círculo se e somente se ;
  • (ii) A equação representa um ponto se e somente se ;
  • (iii) A equação representa o conjunto vazio se e somente se .

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