Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3), v2=(-1,3,-4), v3=(-1,5,-6) in R^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se os vetores , e são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Além disso, precisamos encontrar uma parametrização para o espaço que eles geram e, se der, identificar que tipo de espaço é esse. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre dependência linear e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Caso contrário, são linearmente dependentes. Para verificar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 3

Vamos formar a matriz A = 2 & -1 & -1 -1 & 3 & 5 3 & -4 & -6 cujas colunas são os vetores dados:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.

Passo 4

Calculando o determinante de det(A) = 2 cdot (3 cdot (-6) - 5 cdot (-4)) - (-1) cdot (-1 cdot (-6) - 5 cdot 3) + (-1) cdot (-1 cdot (-4) - 3 cdot 3) :
det(A) = 2 cdot (-18 + 20) - (-1) cdot (6 - 15) + (-1) cdot (4 - 9)
Vamos resolver cada parte:
det(A) = 2 cdot 2 - (-1) cdot (-9) + (-1) cdot (-5)
det(A) = 4 - 9 + 5 = 0

Passo 5

O determinante deu zero, então isso significa que os vetores são linearmente dependentes. Agora, vamos encontrar uma relação de dependência linear entre eles e parametrizar o espaço gerado por esses vetores.

Passo 6

Como os vetores são LD, sabemos que pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação dos outros. Vamos tentar expressar v3 = a cdot v1 + b cdot v2 em função de -1 = 2a - b 5 = -a + 3b -6 = 3a - 4b e .
Procuramos escalares e tais que:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Primeiro, da primeira equação:
-1 = 2a - b Rightarrow b = 2a + 1
Substituindo na segunda equação:
5 = -a + 3(2a + 1) 5 = -a + 6a + 3 5 = 5a + 3 5a = 2 a = 25
Agora, substituindo b = 2 cdot 25 + 1 = 45 + 1 = 95 na expressão de :

Passo 8

Então, temos que:
v3 = 25 cdot v1 + 95 cdot v2
Isso confirma que é uma combinação linear de e , ou seja, os vetores são LD.

Passo 9

Agora, vamos parametrizar o espaço gerado por esses vetores. Como está no espaço gerado por e , o espaço gerado por todos os três vetores é o mesmo que o gerado apenas por e (\overrightarrow{v_{2}}}.
Qual é esse espaço? Em , dois vetores que não são colineares geram um plano. Como e não são múltiplos um do outro, eles de fato geram um plano.

Resposta

Os vetores r = s cdot v1 + t cdot v2, s, t in R e são linearmente dependentes. O espaço que eles geram é um plano em , que pode ser parametrizado por:

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