Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear onde precisamos verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Além disso, vamos encontrar uma parametrização para o espaço gerado por esses vetores e identificar o tipo desse espaço. Os vetores que vamos analisar são:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de combinação linear, dependência e independência linear, e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear não trivial deles resulta no vetor nulo. Ou seja, a única solução para a equação:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
é quando todos os coeficientes são iguais a zero. Se existir alguma combinação linear não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes não é zero) que resulta no vetor nulo, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Analisando os vetores fornecidos, notamos que o vetor é o vetor nulo. Por definição, o vetor nulo é sempre linearmente dependente com qualquer outro conjunto de vetores, porque podemos multiplicá-lo por qualquer escalar não zero e ainda obter o vetor nulo.
Portanto, já sabemos que o conjunto de vetores fornecido é linearmente dependente (LD).
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma parametrização para o espaço gerado por esses vetores. O espaço gerado por um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Nesse caso, o vetor w = av1 + bv3 = a(2, -1, 3) + b(-1, 7, -6) não contribui para a geração do espaço, pois ele é o vetor nulo.
Portanto, o espaço gerado será determinado apenas por e . Podemos escrever uma combinação linear desses vetores da seguinte forma:
onde e são escalares reais.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da combinação linear para entender melhor o espaço gerado:
w = (2a - b, -a + 7b, 3a - 6b)
Isso significa que qualquer vetor no espaço gerado por e pode ser representado por essas três componentes, dependendo dos valores de e .
Passo 6
Finalmente, vamos identificar o tipo de espaço que esses vetores geram. Como temos dois vetores que não são múltiplos um do outro (não são colineares), o espaço gerado por e é um plano que passa pela origem em .
Resposta
O conjunto de vetores w = a(2, -1, 3) + b(-1, 7, -6), onde a, b in R , e é linearmente dependente (LD). O espaço gerado por esses vetores é um plano em , parametrizado por: