Considere os pontos A=(2,-3,4), B=(-1,4,-2) e C=(1,1,-1). Calcular a área do paralelograma gerado por A B e A C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três pontos no espaço: , e . A gente precisa calcular a área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Matéria envolvida: Vetores no espaço tridimensional e produto vetorial.
O que vamos precisar: Saber como calcular vetores a partir de pontos, entender o produto vetorial e como ele está relacionado à área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (-1 - 2,, 4 - (-3),, -2 - 4) = (-3,, 7,, -6) e AC = C - A = (1 - 2,, 1 - (-3),, -1 - 4) = (-1,, 4,, -5) .
Para isso, subtraímos as coordenadas do ponto inicial das coordenadas do ponto final.

Passo 3

Agora que temos os vetores u times v = ( u2 v3 - u3 v2,; u3 v1 - u1 v3,; u1 v2 - u2 v1 ) e AB times AC = ( 7 times (-5) - (-6) times 4,; (-6) times (-1) - (-3) times (-5),; (-3) times 4 - 7 times (-1) ) , vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores.
O produto vetorial de dois vetores = ( -35 + 24,; 6 - 15,; -12 + 7 ) = ( -11,; -9,; -5 ) e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando cada componente:

Passo 4

A área do paralelogramo formado por dois vetores é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores.
O módulo de um vetor | w | = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 é dado por:
| AB times AC | = raiz(-11)^2 + (-9)^2 + (-5)^2 = raiz121 + 81 + 25 = raiz227
Então, vamos calcular o módulo de :

Resposta

A área do paralelogramo gerado por e é unidades de área.

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