Provar que um vetor
é ortogonal a qualquer vetor
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que um vetor
em
é ortogonal a qualquer vetor
em
se e somente se
for o vetor zero (
). Isso envolve entender o conceito de ortogonalidade entre vetores e como isso se relaciona com o vetor zero. Vamos usar o produto escalar (ou produto interno) para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de
e
é dado por:
Então, dizer que
é ortogonal a qualquer
significa que:
Passo 3
Vamos provar a primeira direção: Se
, então
é ortogonal a qualquer
.
Se
é o vetor zero, seus componentes são
. Calculando o produto escalar:
Como o produto escalar é sempre zero, de fato
é ortogonal a qualquer vetor
.
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: Se
é ortogonal a qualquer
, então
.
Para isso, vamos escolher vetores
específicos e ver o que isso nos diz sobre
.
Primeiro, escolha
. Então:
Portanto,
.
Segundo, escolha
:
Então,
.
Terceiro, escolha
:
Assim,
.
Resposta
Concluímos que
, ou seja,
. Portanto, um vetor
é ortogonal a qualquer vetor
se e somente se
for o vetor zero.