Provar que um vetor é ortogonal a qualquer vetor se, e somente se, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que um vetor em é ortogonal a qualquer vetor em se e somente se for o vetor zero ( ). Isso envolve entender o conceito de ortogonalidade entre vetores e como isso se relaciona com o vetor zero. Vamos usar o produto escalar (ou produto interno) para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Então, dizer que é ortogonal a qualquer significa que:

Passo 3

Vamos provar a primeira direção: Se , então é ortogonal a qualquer .
Se é o vetor zero, seus componentes são . Calculando o produto escalar:
Como o produto escalar é sempre zero, de fato é ortogonal a qualquer vetor .

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: Se é ortogonal a qualquer , então .
Para isso, vamos escolher vetores específicos e ver o que isso nos diz sobre .
Primeiro, escolha . Então:
Portanto, .
Segundo, escolha :
Então, .
Terceiro, escolha :
Assim, .

Resposta

Concluímos que , ou seja, . Portanto, um vetor é ortogonal a qualquer vetor se e somente se for o vetor zero.

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Resolver, pela regra de Cramer, o sistema linear de equações simultâneas:
Provar que todo subconjunto de um espaço vetorial sobre um corpo , na condição de L.I., não pode conter o vetor nulo.
Considere os seguintes lugares geométricos do :
ponto ,
reta ,
reta ,
plano
plano
Calcular:
Considere os pontos e . Calcular a área do paralelograma gerado por e .