Provar que um vetor w in R^3 é ortogonal a qualquer vetor v in R^3 se, e somente se, w=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que um vetor em é ortogonal a qualquer vetor em se e somente se for o vetor zero ( ). Isso envolve entender o conceito de ortogonalidade entre vetores e como isso se relaciona com o vetor zero. Vamos usar o produto escalar (ou produto interno) para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de w cdot v = w1v1 + w2v2 + w3v3 e w cdot v = 0 para todo v in R^3 é dado por:
Então, dizer que é ortogonal a qualquer significa que:

Passo 3

Vamos provar a primeira direção: Se w cdot v = 0 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 = 0 , então é ortogonal a qualquer .
Se é o vetor zero, seus componentes são . Calculando o produto escalar:
Como o produto escalar é sempre zero, de fato é ortogonal a qualquer vetor .

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: Se w cdot v = w1 cdot 1 + w2 cdot 0 + w3 cdot 0 = w1 = 0 é ortogonal a qualquer w cdot v = w1 cdot 0 + w2 cdot 1 + w3 cdot 0 = w2 = 0 , então w cdot v = w1 cdot 0 + w2 cdot 0 + w3 cdot 1 = w3 = 0 .
Para isso, vamos escolher vetores específicos e ver o que isso nos diz sobre .
Primeiro, escolha . Então:
Portanto, .
Segundo, escolha :
Então, .
Terceiro, escolha :
Assim, .

Resposta

Concluímos que , ou seja, . Portanto, um vetor é ortogonal a qualquer vetor se e somente se for o vetor zero.

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