Provar que um vetor é ortogonal a qualquer vetor se, e somente se, .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para provar que um vetor em é ortogonal a qualquer vetor em se e somente se for o vetor zero (). Isso envolve entender o conceito de ortogonalidade entre vetores e como isso se relaciona com o vetor zero. Vamos usar o produto escalar (ou produto interno) para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for zero. O produto escalar de e é dado por:
Então, dizer que é ortogonal a qualquer significa que:
Passo 3
Vamos provar a primeira direção: Se, então é ortogonal a qualquer .
Se é o vetor zero, seus componentes são . Calculando o produto escalar:
Como o produto escalar é sempre zero, de fato é ortogonal a qualquer vetor .
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: Se é ortogonal a qualquer , então.
Para isso, vamos escolher vetores específicos e ver o que isso nos diz sobre .
Primeiro, escolha . Então:
Portanto, .
Segundo, escolha :
Então, .
Terceiro, escolha :
Assim, .
Resposta
Concluímos que , ou seja, . Portanto, um vetor é ortogonal a qualquer vetor se e somente se for o vetor zero.