Considere os seguintes lugares geométricos do R^3 :
O ponto P0=(1,3,-2),
A reta r: O X(t)=(1+t, 3-2 t, 4+5 t), t in R,
A reta l: O Y(s)=(1+2 s, 1-s,-1+s), s in R,
O plano alpha: x+3 y+z=3 e
O plano beta: 2 x+6 y+2 z=0
Calcular:
dist(P0, r), dist(P0, alpha), dist(r, l), dist(r, alpha) e dist(alpha, beta)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Geometria Analítica! A questão nos dá um ponto , duas retas e , e dois planos e no espaço tridimensional . Precisamos calcular as distâncias entre:
  1. O ponto e a reta
  2. O ponto e o plano
  3. As retas e
  4. A reta e o plano
  5. Os planos e
Para resolver isso, vamos utilizar fórmulas de distância no espaço 3D, aplicando vetores e produtos vetoriais quando necessário. Vamos passo a passo para facilitar o entendimento!

Passo 2

Calculando a distância entre o ponto dist(P, r) = ||PQ times d||||d|| e a reta Q = (1 + 0, 3 - 0, 4 + 0) = (1, 3, 4) :
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para a distância entre um ponto d = (1, -2, 5) e uma reta definida por um vetor diretor PQ = P0 - Q = (1 - 1, 3 - 3, -2 - 4) = (0, 0, -6) e um ponto PQ times d = i & j & k 0 & 0 & -6 1 & -2 & 5 = (0 cdot 5 - (-6) cdot (-2))i - (0 cdot 5 - (-6) cdot 1)j + (0 cdot (-2) - 0 cdot 1)k = (-12)i - 6j + 0k = (-12, -6, 0) na reta:
||PQ times d|| = raiz(-12)^2 + (-6)^2 + 0^2 = raiz144 + 36 = raiz180 = 6raiz5
Onde:
  • ||d|| = raiz1^2 + (-2)^2 + 5^2 = raiz1 + 4 + 25 = raiz30 é o vetor que vai de dist(P0, r) = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = 6raiz5raiz30 = raiz6 até
  • representa o produto vetorial
  • é a norma (comprimento) do vetor
Seguindo isso:
  1. Identificamos um ponto na reta . Pelo enunciado, quando :
  2. O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de na parametrização:
  3. Calculamos o vetor :
  4. Calculamos o produto vetorial :
  5. Calculamos a norma do produto vetorial:
  6. Calculamos a norma do vetor diretor :
  7. Finalmente, calculamos a distância:

Passo 3

Calculando a distância entre o ponto dist(P, alpha) = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e o plano dist(P0, alpha) = |1 cdot 1 + 3 cdot 3 + 1 cdot (-2) - 3|raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = |1 + 9 - 2 - 3|raiz1 + 9 + 1 = |5|raiz11 = 5raiz11 :
A fórmula para a distância entre um ponto e um plano é:
No nosso caso, o plano é . Podemos reescrever como , então:
  1. Substituímos os valores de na fórmula:

Passo 4

Calculando a distância entre as retas dr times dl = i & j & k 1 & -2 & 5 2 & -1 & 1 = ( (-2)(1) - 5(-1) )i - ( 1(1) - 5(2) )j + ( 1(-1) - (-2)(2) )k = ( -2 + 5 )i - ( 1 - 10 )j + ( -1 + 4 )k = (3, 9, 3) e QrQl = Ql - Qr = (1 - 1, 1 - 3, -1 - 4) = (0, -2, -5) :
Para calcular a distância entre duas retas no espaço, primeiro precisamos verificar se elas são paralelas ou se são inclinadas (não são paralelas e se intersectam). Se forem inclinadas e não concorrentes, a distância pode ser calculada usando o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta e o vetor normal aos dois vetores diretores.
  1. Vamos identificar os vetores diretores das retas:
    • Reta dist(r, l) = |QrQl cdot (dr times dl)|||dr times dl|| : (0, -2, -5) cdot (3, 9, 3) = 0 cdot 3 + (-2) cdot 9 + (-5) cdot 3 = 0 - 18 - 15 = -33
    • Reta ||dr times dl|| = raiz3^2 + 9^2 + 3^2 = raiz9 + 81 + 9 = raiz99 = 3raiz11 : dist(r, l) = 333raiz11 = 11raiz11 = raiz11
  2. Calculamos o produto vetorial para verificar se são paralelas:
    Como o produto vetorial não é zero, as retas não são paralelas.
  3. Escolhemos um ponto em cada reta, por exemplo:
    • Para , quando :
    • Para , quando :
  4. Calculamos o vetor :
  5. Usamos a fórmula para a distância entre duas retas:
  6. Calculamos o produto escalar :
    O valor absoluto é .
  7. Calculamos a norma de :
  8. Finalmente, a distância:

Passo 5

Calculando a distância entre a reta 1 cdot 1 + (-2) cdot 3 + 5 cdot 1 = 1 - 6 + 5 = 0 e o plano dist(r, alpha) = |1 cdot 1 + 3 cdot 3 + 1 cdot 4 - 3|raiz1^2 + 3^2 + 1^2 = |1 + 9 + 4 - 3|raiz11 = 11raiz11 = raiz11 :
A distância entre uma reta e um plano pode ser encontrada verificando se a reta é paralela ao plano ou se a reta está contida no plano. Se não for paralela, a reta intersecta o plano e a distância é zero. Se for paralela, usamos a distância de um ponto da reta ao plano.
  1. Primeiro, verificamos se a reta é paralela ao plano . Isso acontece se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano.
    O vetor diretor de :
    O vetor normal do plano :
    Calculamos o produto escalar :
    Como o produto escalar é zero, a reta é paralela ao plano.
  2. Assim, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano. Pegamos um ponto da reta , por exemplo, .
  3. Aplicamos a fórmula da distância:

Passo 6

Calculando a distância entre os planos dist(alpha, beta) = |2 cdot 0 + 6 cdot 0 + 2 cdot 3 + 0|raiz2^2 + 6^2 + 2^2 = |0 + 0 + 6 + 0|raiz4 + 36 + 4 = 6raiz44 = 62raiz11 = 3raiz11 e :
A distância entre dois planos paralelos pode ser calculada usando a distância de um ponto de um plano ao outro plano. Primeiro, precisamos verificar se os planos são paralelos.
  1. Verificamos se os vetores normais dos planos são múltiplos um do outro.
    Vetor normal de :
    Vetor normal de :
    Observamos que , então os planos são paralelos.
  2. Escolhemos um ponto de um dos planos para calcular a distância. Vamos pegar o ponto que está no plano (pois ).
  3. Aplicamos a fórmula da distância do ponto ao plano :

Resposta

dist(P0, r) &= raiz6 dist(P0, alpha) &= 5raiz11 dist(r, l) &= raiz11 dist(r, alpha) &= raiz11 dist(alpha, beta) &= 3raiz11

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