Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas: 2 x1+2 x2+2 x3 & =0 -2 x1+5 x2+2 x3 & =1 8 x1+x2+4 x3 & =-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. Esse método é uma técnica de álgebra linear que ajuda a encontrar as soluções de sistemas lineares transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma simplificada, conhecida como forma escalonada reduzida. Para isso, vamos manipular as linhas da matriz para chegar a uma solução clara para as incógnitas , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
2 & 2 & 2 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 3

Nosso objetivo é conseguir um 1 na primeira posição (pivô) da primeira linha. Para isso, vamos dividir a primeira linha por 2:
R1' = R12 Rightarrow 1 & 1 & 1 & | & 0 -2 & 5 & 2 & | & 1 8 & 1 & 4 & | & -1

Passo 4

Agora, queremos eliminar o R2' = R2 + 2R1 = (-2 + 2 times 1, 5 + 2 times 1, 2 + 2 times 1, 1 + 2 times 0) = (0, 7, 4, 1) das outras linhas. Para isso:
  • Para a segunda linha ( R3' = R3 - 8R1 = (8 - 8 times 1, 1 - 8 times 1, 4 - 8 times 1, -1 - 8 times 0) = (0, -7, -4, -1) ), vamos adicionar 2 vezes a primeira linha:
    1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 7 & 4 & | & 1 0 & -7 & -4 & | & -1
  • Para a terceira linha ( ), vamos subtrair 8 vezes a primeira linha:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos focar na segunda coluna e conseguir um 1 como pivô. Vamos dividir a segunda linha por 7:
R2' = R27 Rightarrow 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & -7 & -4 & | & -1

Passo 6

Agora, vamos eliminar o R3' = R3 + 7R2 = (0 + 7 times 0, -7 + 7 times 1, -4 + 7 times 47, -1 + 7 times 17) = (0, 0, 0, 0) da terceira linha adicionando 7 vezes a segunda linha à terceira linha:
1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 1 & 47 & | & 17 0 & 0 & 0 & | & 0
A matriz fica:

Passo 7

Observamos que a terceira linha resultou em , o que indica que temos infinitas soluções. Isso acontece porque uma das equações do sistema é redundante. Vamos expressar as variáveis em termos de um parâmetro livre, que pode ser , onde é qualquer número real.

Passo 8

A partir da segunda linha, temos:
1 cdot x2 + 47 cdot x3 = 17 Rightarrow x2 = 17 - 47 t

Passo 9

Da primeira linha:
1 cdot x1 + 1 cdot x2 + 1 cdot x3 = 0 Rightarrow x1 = -x2 - x3 = -( 17 - 47 t ) - t = -17 + 47 t - t = -17 - 37 t

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -dfrac17 - dfrac37 t x2 = dfrac17 - dfrac47 t x3 = t
Onde é um número real qualquer. Portanto, o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por .

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