Considere os pontos A=(1,3,2), B=(-1,0,1) e C=(3,-2,2).
(a) Determine um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos A, B e C.
(b) Determine a equação do plano determinado pelos pontos A, B e C.

Respostas:

(a) n=(-5,-2,16)
(b) 5 x+2 y-16 z+21=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três pontos no espaço: , e . O que a gente precisa fazer aqui envolve vetores e planos no espaço tridimensional. Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular (ortogonal) ao plano formado por esses três pontos. Depois, com esse vetor, vamos montar a equação desse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano. Para isso, a gente precisa de dois vetores que estejam no plano e, então, calcular o produto vetorial entre eles, que dará um vetor perpendicular ao plano.
Vamos calcular os vetores AB = B - A = (-1-1, , 0-3, , 1-2) = (-2, -3, -1) e AC = C - A = (3-1, , -2-3, , 2-2) = (2, -5, 0) :
n = AB times AC = i & j & k -2 & -3 & -1 2 & -5 & 0
n = i((-3)(0) - (-1)(-5)) - j((-2)(0) - (-1)(2)) + k((-2)(-5) - (-3)(2))
Agora, vamos calcular o produto vetorial n = i(0 - 5) - j(0 + 2) + k(10 + 6) :
n = -5i - 2j + 16k
Então, o vetor ortogonal ao plano é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano. Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita como:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde -5(x - 1) - 2(y - 3) + 16(z - 2) = 0 é o vetor normal ao plano e -5x + 5 - 2y + 6 + 16z - 32 = 0 é um ponto no plano. Podemos usar o ponto -5x - 2y + 16z - 21 = 0 para facilitar.
Substituindo os valores:
5x + 2y - 16z + 21 = 0
Expandindo a equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional:

Resposta

(a) Um vetor ortogonal ao plano é .
(b) A equação do plano é .

Exercícios relacionados