Considere os pontos e .
(a) Determine um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos e .
(b) Determine a equação do plano determinado pelos pontos e .
Respostas:
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos três pontos no espaço: , e . O que a gente precisa fazer aqui envolve vetores e planos no espaço tridimensional. Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja perpendicular (ortogonal) ao plano formado por esses três pontos. Depois, com esse vetor, vamos montar a equação desse plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano. Para isso, a gente precisa de dois vetores que estejam no plano e, então, calcular o produto vetorial entre eles, que dará um vetor perpendicular ao plano.
Vamos calcular os vetores e :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Então, o vetor ortogonal ao plano é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano. Sabemos que a equação de um plano pode ser escrita como:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
onde -5(x - 1) - 2(y - 3) + 16(z - 2) = 0 é o vetor normal ao plano e -5x + 5 - 2y + 6 + 16z - 32 = 0 é um ponto no plano. Podemos usar o ponto -5x - 2y + 16z - 21 = 0 para facilitar.
Substituindo os valores:
5x + 2y - 16z + 21 = 0
Expandindo a equação:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais convencional: