Determine os valores de t para os quais as matrizes
A=[rr t^2 & t+4 2 & 3 ] B=[rr 3-t & 4 2 & 1-t ] C=[rrr 1 & -2 & t t & 2 & 1 2 & 4 & -2 ]
não admitem inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de para os quais as matrizes , e não têm inversa. Isso significa que a gente precisa descobrir quando essas matrizes são não invertíveis. Para isso, vamos usar o determinante das matrizes. Se o determinante for igual a zero, a matriz não tem inversa. Então, vamos calcular o determinante de cada uma delas e ver para quais valores de ele é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = t^2 & t+4 2 & 3 . A matriz det(A) = (ad) - (bc) é uma matriz det(A) = (t^2 times 3) - (2 times (t+4)) = 3t^2 - 2t - 8 :
3t^2 - 2t - 8 = 0
O determinante de uma matriz t = 2 pm raiz(2)^2 - 4 times 3 times (-8)2 times 3 = 2 pm raiz4 + 966 = 2 pm raiz1006 = 2 pm 106 é dado por:
t = 126 = 2 e t = -86 = -43
Onde , , , e . Então:
Agora, vamos igualar o determinante a zero para encontrar os valores de :
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Então, as soluções são:

Passo 3

Agora, vamos para a matriz B = 3-t & 4 2 & 1-t , que também é det(B) = (3-t)(1-t) - (2 times 4) = (3-t)(1-t) - 8 :
(3-t)(1-t) = 3 times 1 - 3t - t times 1 + t^2 = 3 - 3t - t + t^2 = t^2 - 4t + 3
Calculando o determinante:
det(B) = t^2 - 4t + 3 - 8 = t^2 - 4t - 5
Vamos expandir:
t^2 - 4t - 5 = 0
Então:
t = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 times 1 times (-5)2 times 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Igualando a zero:
t = 102 = 5 e t = -22 = -1
Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o determinante da matriz C = 1 & -2 & t t & 2 & 1 2 & 4 & -2 , que é uma matriz det(C) = 1 times det 2 & 1 4 & -2 - (-2) times det t & 1 2 & -2 + t times det t & 2 2 & 4 :
det 2 & 1 4 & -2 = (2)(-2) - (1)(4) = -4 - 4 = -8
O determinante de uma matriz det t & 1 2 & -2 = (t)(-2) - (1)(2) = -2t - 2 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de co-fatores. Vamos usar a regra de co-fatores aqui:
det t & 2 2 & 4 = (t)(4) - (2)(2) = 4t - 4
Calculando cada determinante menor:
det(C) = 1 times (-8) - (-2) times (-2t - 2) + t times (4t - 4) = -8 - 4t - 4 + 4t^2 - 4t
det(C) = 4t^2 - 4t - 12
4t^2 - 4t - 12 = 0
Agora, substituindo de volta:
t^2 - t - 3 = 0
Simplificando:
t = 1 pm raiz(-1)^2 - 4 times 1 times (-3)2 times 1 = 1 pm raiz1 + 122 = 1 pm raiz132
Igualando a zero:
t = 1 + raiz132 e t = 1 - raiz132
Podemos simplificar dividindo toda a equação por 4:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as soluções são:

Resposta

Os valores de para os quais as matrizes não admitem inversa são:
  • Matriz : e
  • Matriz : e
  • Matriz : e

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