Sabendo que u+v+w=0 determine uma expressão para u cdot v em função de |u|,|v| e |w|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver um problema de álgebra vetorial onde u + v + w = 0. O objetivo é encontrar uma expressão para o produto escalar u cdot v usando apenas os módulos (ou normas) de u, v e w, que são |u|, |v| e |w|. Para isso, vamos precisar usar propriedades do produto escalar e da norma dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar um dos vetores na equação dada. Vamos resolver para w:
w = -(u + v)
Isso nos ajuda a relacionar w com u e v.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo de w. Sabemos que o módulo de um vetor a é dado por |a| = raiza cdot a. Então, elevando ao quadrado ambos os lados:
|w|^2 = w cdot w
Substituindo w pela expressão que encontramos:
|w|^2 = (-u - v) cdot (-u - v)

Passo 4

Vamos expandir o produto escalar usando a propriedade distributiva:
|w|^2 = (u + v) cdot (u + v)
|w|^2 = u cdot u + 2u cdot v + v cdot v
Aqui, usamos que (-1)^2 = 1 e aplicamos a distributiva do produto escalar.

Passo 5

Sabemos que u cdot u = |u|^2 e v cdot v = |v|^2. Substituindo isso na equação:
|w|^2 = |u|^2 + 2u cdot v + |v|^2

Passo 6

Nosso objetivo é encontrar u cdot v. Vamos rearranjar a equação para isolar esse termo:
2u cdot v = |w|^2 - |u|^2 - |v|^2

Passo 7

Agora, basta dividir ambos os lados da equação por 2 para encontrar u cdot v:
u cdot v = |w|^2 - |u|^2 - |v|^22

Resposta

u cdot v = dfrac|w|^2 - |u|^2 - |v|^22

Exercícios relacionados