Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole , onde:
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar várias características da hipérbole dada pela equação . A matéria envolvida aqui é a de Conic Sections, especificamente Hipérboles. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma canônica, identificar o centro, os vértices, focos, a excentricidade, as assíntotas e finalmente desenhar o esboço da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e .
Para :
Tomamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Para :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Tomamos o coeficiente de , que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Isolando os termos quadráticos:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 6

Dividindo todos os termos por 12 para obter a forma canônica:
Essa é a forma canônica de uma hipérbole vertical, onde o termo positivo está associado ao .

Passo 7

Centro da Hipérbole: é .
Valores de e :
Vértices: Como é uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância acima e abaixo do centro:

Passo 8

Focos: Para encontrar os focos, precisamos calcular , onde :
Os focos estão a uma distância acima e abaixo do centro:
Reta Focal: A reta que passa pelos focos é a reta focal, que no caso de hipérbole vertical é a linha vertical que passa pelo centro:
Reta Não Focal (Transversal): A reta não focal, também conhecida como eixo conjugado, é a linha horizontal que passa pelo centro:

Passo 9

Excentricidade ( ): A excentricidade indica o quão “alongada” é a hipérbole e é calculada por:

Passo 10

Assíntotas: As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para hipérboles verticais, a equação das assíntotas é:
Substituindo os valores:
Portanto, as assíntotas são:

Passo 11

Vértices Imaginários: Em hipérboles reais, não existem vértices imaginários. Esse conceito é mais aplicável em elipses quando , mas no caso da hipérbole real dada, todos os vértices são reais.

Passo 12

Esboço da Hipérbole:
  1. Plotar o centro em .
  2. Marcar os vértices acima e abaixo do centro.
  3. Desenhar as assíntotas e .
  4. Traçar a hipérbole que se abre para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação canônica da hipérbole é , com centro em , vértices em e , focos em e , reta focal , reta não focal , excentricidade , assíntotas e . O esboço da hipérbole tem o centro em , abre para cima e para baixo, e se aproxima das assíntotas mencionadas.

Exercícios relacionados

Considere os pontos e .
(a) Determine um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos e .
(b) Determine a equação do plano determinado pelos pontos e .

Respostas:

(a)
(b)
Determine os focos, os vértices e esboce as hipérboles cujas equações são:
(a)
(b) ;
© ;
(d)
Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(a) Vértice e diretriz ;