Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole H, onde:
(b) H: x^2-y^2-6 x+8 y+5=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar várias características da hipérbole dada pela equação . A matéria envolvida aqui é a de Conic Sections, especificamente Hipérboles. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma canônica, identificar o centro, os vértices, focos, a excentricidade, as assíntotas e finalmente desenhar o esboço da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de x^2 -6x - y^2 +8y = -5 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 -6x e (-62)^2 = 9 .
Para x^2 -6x +9 -9 :
-y^2 +8y
Tomamos o coeficiente de - (y^2 -8y) , que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
(-82)^2 = 16
Então, adicionamos e subtraímos 9:
- (y^2 -8y +16 -16) = - (y -4)^2 +16
Para :
Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Tomamos o coeficiente de , que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
x^2 -6x +9 -9 - (y -4)^2 +16 = -5
Simplificando:
(x -3)^2 -9 - (y -4)^2 +16 = -5
(x -3)^2 - (y -4)^2 +7 = -5

Passo 5

Isolando os termos quadráticos:
(x -3)^2 - (y -4)^2 = -5 -7
(x -3)^2 - (y -4)^2 = -12
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
-(x -3)^2 + (y -4)^2 = 12
(y -4)^2 - (x -3)^2 = 12

Passo 6

Dividindo todos os termos por 12 para obter a forma canônica:
(y -4)^212 - (x -3)^212 = 1
Essa é a forma canônica de uma hipérbole vertical, onde o termo positivo está associado ao .

Passo 7

Centro da Hipérbole: a^2 = 12 Rightarrow a = 2raiz3 é b^2 = 12 Rightarrow b = 2raiz3 .
Valores de V1 = (3, 4 + 2raiz3) e V2 = (3, 4 - 2raiz3) :
Vértices: Como é uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância acima e abaixo do centro:

Passo 8

Focos: Para encontrar os focos, precisamos calcular c^2 = 12 + 12 = 24 Rightarrow c = 2raiz6 , onde F1 = (3, 4 + 2raiz6) :
F2 = (3, 4 - 2raiz6)
Os focos estão a uma distância x = 3 acima e abaixo do centro:
y = 4
Reta Focal: A reta que passa pelos focos é a reta focal, que no caso de hipérbole vertical é a linha vertical que passa pelo centro:
Reta Não Focal (Transversal): A reta não focal, também conhecida como eixo conjugado, é a linha horizontal que passa pelo centro:

Passo 9

Excentricidade ( e = ca = 2raiz62raiz3 = raiz2 ): A excentricidade indica o quão “alongada” é a hipérbole e é calculada por:

Passo 10

Assíntotas: As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para hipérboles verticais, a equação das assíntotas é:
y = k pm ab(x - h)
Substituindo os valores:
y = 4 pm 2raiz32raiz3(x -3)
y = 4 pm (x -3)
Portanto, as assíntotas são:
y = x +1
y = -x +7

Passo 11

Vértices Imaginários: Em hipérboles reais, não existem vértices imaginários. Esse conceito é mais aplicável em elipses quando , mas no caso da hipérbole real dada, todos os vértices são reais.

Passo 12

Esboço da Hipérbole:
  1. Plotar o centro em .
  2. Marcar os vértices acima e abaixo do centro.
  3. Desenhar as assíntotas e .
  4. Traçar a hipérbole que se abre para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação canônica da hipérbole é , com centro em , vértices em e , focos em e , reta focal , reta não focal , excentricidade , assíntotas e . O esboço da hipérbole tem o centro em , abre para cima e para baixo, e se aproxima das assíntotas mencionadas.

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