Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas, e faça o esboço da hipérbole
, onde:
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar várias características da hipérbole dada pela equação
. A matéria envolvida aqui é a de Conic Sections, especificamente Hipérboles. Para resolver, vamos precisar completar o quadrado para colocar a equação na forma canônica, identificar o centro, os vértices, focos, a excentricidade, as assíntotas e finalmente desenhar o esboço da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Para
:
Tomamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9:
Para
:
Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Tomamos o coeficiente de
, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Passo 4
Substituindo de volta na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Isolando os termos quadráticos:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 6
Dividindo todos os termos por 12 para obter a forma canônica:
Essa é a forma canônica de uma hipérbole vertical, onde o termo positivo está associado ao
.
Passo 7
Centro da Hipérbole:
é
.
Valores de
e
:
Vértices: Como é uma hipérbole vertical, os vértices estão a uma distância
acima e abaixo do centro:
Passo 8
Focos: Para encontrar os focos, precisamos calcular
, onde
:
Os focos estão a uma distância
acima e abaixo do centro:
Reta Focal: A reta que passa pelos focos é a reta focal, que no caso de hipérbole vertical é a linha vertical que passa pelo centro:
Reta Não Focal (Transversal): A reta não focal, também conhecida como eixo conjugado, é a linha horizontal que passa pelo centro:
Passo 9
Excentricidade (
): A excentricidade indica o quão “alongada” é a hipérbole e é calculada por:
Passo 10
Assíntotas: As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima mas nunca toca. Para hipérboles verticais, a equação das assíntotas é:
Substituindo os valores:
Portanto, as assíntotas são:
Passo 11
Vértices Imaginários: Em hipérboles reais, não existem vértices imaginários. Esse conceito é mais aplicável em elipses quando
, mas no caso da hipérbole real dada, todos os vértices são reais.
Passo 12
Esboço da Hipérbole:
- Plotar o centro em
. - Marcar os vértices acima e abaixo do centro.
- Desenhar as assíntotas
e . - Traçar a hipérbole que se abre para cima e para baixo, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A equação canônica da hipérbole é
, com centro em
, vértices em
e
, focos em
e
, reta focal
, reta não focal
, excentricidade
, assíntotas
e
. O esboço da hipérbole tem o centro em
, abre para cima e para baixo, e se aproxima das assíntotas mencionadas.
Exercícios relacionados
Considere os pontos
e
.
(a) Determine um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos e
.
(b) Determine a equação do plano determinado pelos pontos e
.
(a) Determine um vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos
(b) Determine a equação do plano determinado pelos pontos
Respostas:
(a)
(b)
(b)
Determine os focos, os vértices e esboce as hipérboles cujas equações são:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:
(a) Vértice e diretriz
;
(a) Vértice