Considere os pontos e , de modo que o segmento passa pelo ponto . Ache o valor de de modo que a área de seja mínima. Mostre que neste caso é ponto médio de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos três pontos no plano cartesiano: , e . O segmento passa pelo ponto . Precisamos encontrar a razão de forma que a área do triângulo seja mínima. Além disso, devemos mostrar que, nesse caso, o ponto é o ponto médio de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para otimizar a área do triângulo.

Passo 2

Vamos começar determinando as coordenadas dos pontos. Sabemos que está no eixo e está no eixo . O segmento pode ser representado pela equação da reta que passa por esses dois pontos. Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da reta que passa por dois pontos:
Como e , substituindo temos:

Passo 3

Sabemos que o ponto está na reta , então ele deve satisfazer a equação da reta encontrada:
Vamos reorganizar essa equação para expressar uma relação entre e :

Passo 4

Agora, vamos determinar a área do triângulo . A área de um triângulo com vértices em , e é dada por:
Á
Nosso objetivo é minimizar essa área.

Passo 5

Para minimizar a área, precisamos encontrar a relação entre e . Observando a relação que encontramos no Passo 3:
Queremos expressar em função de (ou vice-versa) para substituir na expressão da área e então minimizar.
Isolando :

Passo 6

Substituindo na expressão da área:
Á
Agora, vamos considerar como variável e encontrar o valor de que minimiza a área.

Passo 7

Para encontrar o mínimo, derivamos a função da área em relação a e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
A única maneira dessa fração ser zero é se o numerador for zero:
Mas não faz sentido no contexto do problema, já que isso faria o ponto coincidir com . Portanto, comparamos os casos extremos ou reconsideramos a relação.

Passo 8

Vamos analisar a razão . Da relação que obtivemos anteriormente , substituindo na razão temos:
Para que a área seja mínima, essa razão deve ser otimizada. Notamos que se for o ponto médio de , então e . Substituindo na razão:

Resposta

A razão que minimiza a área do triângulo é , ou seja, . Além disso, nesse caso, o ponto é o ponto médio de .

Exercícios relacionados

Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)
Em que pontos é derivável?
(b) .
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
d)
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
a)