Considere os pontos
e
, de modo que o segmento
passa pelo ponto
. Ache o valor de
de modo que a área de
seja mínima. Mostre que neste caso
é ponto médio de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está pedindo o exercício. Temos três pontos no plano cartesiano:
,
e
. O segmento
passa pelo ponto
. Precisamos encontrar a razão
de forma que a área do triângulo
seja mínima. Além disso, devemos mostrar que, nesse caso, o ponto
é o ponto médio de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo para otimizar a área do triângulo.
Passo 2
Vamos começar determinando as coordenadas dos pontos. Sabemos que
está no eixo
e
está no eixo
. O segmento
pode ser representado pela equação da reta que passa por esses dois pontos. Para encontrar essa equação, usamos a fórmula da reta que passa por dois pontos:
Como
e
, substituindo temos:
Passo 3
Sabemos que o ponto
está na reta
, então ele deve satisfazer a equação da reta encontrada:
Vamos reorganizar essa equação para expressar uma relação entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos determinar a área do triângulo
. A área de um triângulo com vértices em
,
e
é dada por:
Nosso objetivo é minimizar essa área.
Passo 5
Para minimizar a área, precisamos encontrar a relação entre
e
. Observando a relação que encontramos no Passo 3:
Queremos expressar
em função de
(ou vice-versa) para substituir na expressão da área e então minimizar.
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
na expressão da área:
Agora, vamos considerar
como variável e encontrar o valor de
que minimiza a área.
Passo 7
Para encontrar o mínimo, derivamos a função da área em relação a
e igualamos a zero:
Calculando a derivada:
Simplificando:
A única maneira dessa fração ser zero é se o numerador for zero:
Mas
não faz sentido no contexto do problema, já que isso faria o ponto
coincidir com
. Portanto, comparamos os casos extremos ou reconsideramos a relação.
Passo 8
Vamos analisar a razão
. Da relação que obtivemos anteriormente
, substituindo na razão temos:
Para que a área seja mínima, essa razão deve ser otimizada. Notamos que se
for o ponto médio de
, então
e
. Substituindo na razão:
Resposta
A razão
que minimiza a área do triângulo
é
, ou seja,
. Além disso, nesse caso, o ponto
é o ponto médio de
.
Exercícios relacionados
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
b)
b)
Em que pontos
é derivável?
(b) .
(b)
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
d)
d)
Efetue as operações pedidas com os polinômios abaixo:
a)
a)