Uma máquina de refrigerante despeja automaticamente, em copos de 300ml, uma média de 290 ml de refrigerante por copo. Se o volume de refrigerante por copo possui distribuição normal com desvio padrão de 10 ml , responda:
a) Em quanto deveria ser ajustada a máquina (média por copo), de tal forma que o copo transborde apenas
das vezes?
b) Qual a porcentagem de copos cujo volume de líquido é menor do que 280 ml ?
a) Em quanto deveria ser ajustada a máquina (média por copo), de tal forma que o copo transborde apenas
b) Qual a porcentagem de copos cujo volume de líquido é menor do que 280 ml ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma máquina de refrigerante que enche copos com uma certa quantidade de líquido, e queremos ajustar essa quantidade para que o copo transborde apenas 5% das vezes. Além disso, vamos descobrir quantos copos têm menos de 280 ml. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score, que nos ajudam a entender como os valores estão distribuídos em torno da média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o volume de refrigerante por copo segue uma distribuição normal com média de 290 ml e desvio padrão de 10 ml. Isso quer dizer que a maioria dos copos vai ter um volume próximo de 290 ml, e a variabilidade desses volumes é medida pelo desvio padrão de 10 ml.
Passo 3
Para a parte a), queremos ajustar a média para que apenas 5% dos copos transbordem, ou seja, tenham mais de 300 ml. Isso significa que 95% dos copos terão 300 ml ou menos. Vamos encontrar o valor correspondente na distribuição normal que marca o ponto em que 95% dos dados estão abaixo dele.
Passo 4
Primeiro, encontramos o Z-score que corresponde a 95% na tabela da distribuição normal padrão. Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que o Z-score para 95% é aproximadamente 1,645.
A fórmula para ajustar a média é:
Onde:
-
ml (valor que queremos que 95% dos copos estejam abaixo) -
(Z-score para 95%) -
ml (desvio padrão)
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Então, a média deve ser ajustada para 283,55 ml.
Passo 6
Agora, para a parte b), queremos saber qual a porcentagem de copos que têm menos de 280 ml. Vamos calcular o Z-score correspondente a 280 ml e usar a tabela da distribuição normal para encontrar a porcentagem.
A fórmula do Z-score é:
Onde:
-
ml -
ml -
ml
Passo 7
Calculando o Z-score:
Passo 8
Consultando a tabela da distribuição normal, um Z-score de -1 corresponde a aproximadamente 15,87%. Isso significa que cerca de 15,87% dos copos terão menos de 280 ml.
Resposta
a) A média deve ser ajustada para 283,55 ml.
b) Aproximadamente 15,87% dos copos terão menos de 280 ml.
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