Uma máquina de refrigerante despeja automaticamente, em copos de 300ml, uma média de 290 ml de refrigerante por copo. Se o volume de refrigerante por copo possui distribuição normal com desvio padrão de 10 ml , responda:
a) Em quanto deveria ser ajustada a máquina (média por copo), de tal forma que o copo transborde apenas 5 % das vezes?
b) Qual a porcentagem de copos cujo volume de líquido é menor do que 280 ml ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre uma máquina de refrigerante que enche copos com uma certa quantidade de líquido, e queremos ajustar essa quantidade para que o copo transborde apenas 5% das vezes. Além disso, vamos descobrir quantos copos têm menos de 280 ml. Para isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Z-score, que nos ajudam a entender como os valores estão distribuídos em torno da média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o volume de refrigerante por copo segue uma distribuição normal com média de 290 ml e desvio padrão de 10 ml. Isso quer dizer que a maioria dos copos vai ter um volume próximo de 290 ml, e a variabilidade desses volumes é medida pelo desvio padrão de 10 ml.

Passo 3

Para a parte a), queremos ajustar a média para que apenas 5% dos copos transbordem, ou seja, tenham mais de 300 ml. Isso significa que 95% dos copos terão 300 ml ou menos. Vamos encontrar o valor correspondente na distribuição normal que marca o ponto em que 95% dos dados estão abaixo dele.

Passo 4

Primeiro, encontramos o Z-score que corresponde a 95% na tabela da distribuição normal padrão. Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que o Z-score para 95% é aproximadamente 1,645.
A fórmula para ajustar a média é:
Novo média = X - Z times sigma é
Onde:
  • ml (valor que queremos que 95% dos copos estejam abaixo)
  • (Z-score para 95%)
  • ml (desvio padrão)

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Novo média = 300 - 1,645 times 10 = 300 - 16,45 = 283,55 ml é
Então, a média deve ser ajustada para 283,55 ml.

Passo 6

Agora, para a parte b), queremos saber qual a porcentagem de copos que têm menos de 280 ml. Vamos calcular o Z-score correspondente a 280 ml e usar a tabela da distribuição normal para encontrar a porcentagem.
A fórmula do Z-score é:
Z = X - musigma
Onde:
  • ml
  • ml
  • ml

Passo 7

Calculando o Z-score:
Z = 280 - 29010 = -1010 = -1

Passo 8

Consultando a tabela da distribuição normal, um Z-score de -1 corresponde a aproximadamente 15,87%. Isso significa que cerca de 15,87% dos copos terão menos de 280 ml.

Resposta

a) A média deve ser ajustada para 283,55 ml.
b) Aproximadamente 15,87% dos copos terão menos de 280 ml.

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