Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através de uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo outro trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10 kN ? Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a 10 mu T e que o comprimento do eixo seja 3 m . (b) Quanta potência será dissipada para cada ohm de resistência nos trilhos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletricidade e magnetismo! A gente tem um projeto de trem elétrico onde o motor é acionado pela força do campo magnético da Terra. Precisamos descobrir duas coisas:
  • (a) Qual a corrente necessária para gerar uma força de 10 kN.
  • (b) Quanta potência é dissipada por cada ohm de resistência nos trilhos.
    Vamos precisar usar as fórmulas da força magnética em um condutor e da potência elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a força magnética. Quando uma corrente elétrica passa por um fio dentro de um campo magnético, ela sente uma força. A fórmula para essa força é:
F = I times L times B times sin(theta)
Onde:
  • é a força (em newtons, N),
  • é a corrente (em amperes, A),
  • é o comprimento do fio no campo magnético (em metros, m),
  • é a intensidade do campo magnético (em teslas, T),
  • é o ângulo entre o fio e o campo magnético.
No nosso caso, o fio (eixo do trem) está alinhado de forma que o campo magnético vertical da Terra está perpendicular ao fio, então e .

Passo 3

Vamos reorganizar a fórmula para encontrar a corrente I = FL times B :
Já que .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem:
  • I = 10 times 10^33 times 10 times 10^-6 kN = N,
  • m,
  • T.
Então:

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
3 times 10 times 10^-6 = 30 times 10^-6 = 3 times 10^-5
Então:
I = 10 times 10^33 times 10^-5

Passo 6

Agora, dividindo:
I = 10^43 times 10^-5 = 10^43 times 10^5 = 10^93
I approx 3,33 times 10^8 A

Passo 7

Então, a corrente necessária para fornecer uma força de 10 kN é aproximadamente amperes.

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Queremos saber quanta potência é dissipada por cada ohm de resistência nos trilhos. A fórmula para potência elétrica é:
P = I^2 times R
Onde:
  • é a potência (em watts, W),
  • é a corrente (em amperes, A),
  • é a resistência (em ohms, Ω).
Como queremos a potência por cada ohm, consideramos Ω.

Passo 9

Substituindo os valores:
P = (3,33 times 10^8)^2 times 1

Passo 10

Calculando (3,33 times 10^8)^2 = 1,11 times 10^17 :

Resposta

(b) A potência dissipada por cada ohm de resistência nos trilhos é W/Ω.

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