Suponha três cargas pontuais
e
fixas em três vértices de um quadrado de lado
. Vamos tomar
positiva e supor que uma quarta carga
, também positiva, seja colocada em repouso sobre o quarto vértice do quadrado. Admitindo que a carga
permaneça em repouso, mesmo após ter sido solta, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três cargas elétricas fixas em três vértices de um quadrado de lado
. Temos
,
e
, todas positivas. Em seguida, coloca-se uma quarta carga
, também positiva, no último vértice do quadrado. A questão quer saber qual deve ser o valor de
para que a carga
fique em repouso depois de ser solta.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Coulomb e equilíbrio de forças. Precisamos calcular as forças que atuam sobre a carga
devido às outras cargas e garantir que elas se anulem, mantendo
em repouso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que diz que a força entre duas cargas elétricas é dada por:
onde:
-
é a força entre as cargas, -
é a constante de Coulomb ( ), -
e são as magnitudes das cargas, -
é a distância entre elas.
Passo 3
Agora, vamos identificar as forças atuando sobre a carga
. Como estamos falando de um quadrado, as cargas
e
estão a uma distância
de
, e a carga
está a uma distância diagonal
de
.
As forças são:
-
devido a , -
devido a , -
devido a .
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas forças usando a Lei de Coulomb.
Para
e
:
Para
:
Passo 5
Como todas as cargas são positivas, as forças
e
repelem
, ou seja, empurram-na para longe. Já a força
também repele
, mas precisamos que as forças se anulem para que
fique em repouso. Para isso,
deve ser ajustada de forma que a força
compense as forças combinadas de
e
.
Passo 6
Vamos considerar as direções das forças. As forças
e
atuam ao longo dos lados do quadrado, enquanto
atua ao longo da diagonal. Para que as forças se anulem, a componente de
na direção dos lados deve ser igual e oposta à soma de
e
.
Usando trigonometria, sabemos que a componente de
na direção de
e
é
.
Como
, temos:
Passo 7
Substituindo as expressões das forças:
Podemos simplificar
e
de ambos os lados:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Resposta
O valor de
necessário para que a carga
permaneça em repouso é:
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