Suponha três cargas pontuais q1=q, q2=q e q3=q^prime fixas em três vértices de um quadrado de lado a. Vamos tomar q positiva e supor que uma quarta carga Q, também positiva, seja colocada em repouso sobre o quarto vértice do quadrado. Admitindo que a carga Q permaneça em repouso, mesmo após ter sido solta, determine o valor de q^prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três cargas elétricas fixas em três vértices de um quadrado de lado . Temos , e , todas positivas. Em seguida, coloca-se uma quarta carga , também positiva, no último vértice do quadrado. A questão quer saber qual deve ser o valor de para que a carga fique em repouso depois de ser solta.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Lei de Coulomb e equilíbrio de forças. Precisamos calcular as forças que atuam sobre a carga devido às outras cargas e garantir que elas se anulem, mantendo em repouso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que diz que a força entre duas cargas elétricas é dada por:
F = ke |q1 cdot q2|r^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre elas.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças atuando sobre a carga . Como estamos falando de um quadrado, as cargas e estão a uma distância de , e a carga está a uma distância diagonal de .
As forças são:
  • devido a ,
  • devido a ,
  • devido a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas forças usando a Lei de Coulomb.
Para F1 = F2 = ke q cdot Qa^2 e F3 = ke q' cdot Q(raiz2a)^2 = ke q' cdot Q2a^2 :
Para :

Passo 5

Como todas as cargas são positivas, as forças e repelem , ou seja, empurram-na para longe. Já a força também repele , mas precisamos que as forças se anulem para que fique em repouso. Para isso, deve ser ajustada de forma que a força compense as forças combinadas de e .

Passo 6

Vamos considerar as direções das forças. As forças F3 cdot raiz22 = F1 + F2 e atuam ao longo dos lados do quadrado, enquanto atua ao longo da diagonal. Para que as forças se anulem, a componente de na direção dos lados deve ser igual e oposta à soma de e .
Usando trigonometria, sabemos que a componente de na direção de e é .
Como , temos:

Passo 7

Substituindo as expressões das forças:
ke q' cdot Q2a^2 cdot raiz22 = 2 cdot ke q cdot Qa^2
Podemos simplificar q' cdot raiz24a^2 = 2qa^2 e de ambos os lados:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por q' cdot raiz2 = 8q :
q' = 8qraiz2 = 4raiz2q
Isolando :

Resposta

O valor de q' = 4raiz2 , q necessário para que a carga permaneça em repouso é:

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