Considere que um prefeito tem como prioridade a saúde dos munícipes conterrâneos. Seu último projeto é a implantação de um processo de vacinação rápida, que consiste em vacinadores que recebem os munícipes e aplicam um conjunto de anticorpos manipulados, melhorando o sistema imunológico do cidadão. De acordo com as normas técnicas de saúde vigentes nessa região, o procedimento vacinatório, incluindo atendimento prévio, triagem e a aplicação em si, ocorre em 30 minutos (TA). Estima-se que a população irá procurar os postos de vacinação a uma taxa (
) de 1,25 pessoas por hora. Devido a limitação do posto de saúde, não é possível aguardar em fila, de forma que a espera é considerada como perda. Considere que tanto a chegada de cidadãos como a aplicação de vacinas são processos markovianos. Dado:
- Taxa de ocupação:
- Probabilidade de perda:
-
Se o prefeito deseja que a taxa de perdas seja inferior a
, quantos vacinadores, no mínimo, deverão ser contratados?
Se o prefeito deseja que a taxa de perdas seja inferior a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um prefeito que quer implantar um processo de vacinação rápida na cidade. Ele quer saber quantos vacinadores precisa contratar para que menos de 1% das pessoas que chegam ao posto de saúde tenham de esperar (ou seja, para que a taxa de perdas seja inferior a 1%). Para resolver isso, vamos usar conceitos de filas markovianas, especificamente as fórmulas de taxa de ocupação e probabilidade de perda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- Taxa de chegada (λ): 1,25 pessoas por hora.
- Tempo de serviço (TA): 30 minutos, ou seja, 0,5 horas.
- Taxa de serviço por vacinador (μ): Como cada vacinador atende uma pessoa a cada 0,5 horas, a taxa de serviço é μ = 1 / TA = 2 pessoas por hora.
- Taxa de ocupação (ρ): ρ = λ / μ.
Queremos que a probabilidade de perda (Pp) seja menor que 1%, ou seja, Pp < 0,01.
Passo 3
Vamos calcular a taxa de ocupação (ρ). Essa taxa nos indica a proporção de tempo que os vacinadores estão ocupados.
Então, a taxa de ocupação é 0,625.
Passo 4
A probabilidade de perda (Pp) é dada por:
Onde n é o número de vacinadores. Queremos que Pp < 0,01. Então:
Passo 5
Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Usando logaritmo na base 10:
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
Passo 6
Sabemos que
. Vamos calcular os logaritmos necessários:
Primeiro,
:
Sabemos que
, então:
E
.
Passo 7
Substituindo os valores na inequação:
Dividindo ambos os lados por -0,20403 (lembre que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
Passo 8
Como o número de vacinadores deve ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O prefeito deve contratar, no mínimo, 10 vacinadores para que a taxa de perdas seja inferior a 1 %.