Considere que um prefeito tem como prioridade a saúde dos munícipes conterrâneos. Seu último projeto é a implantação de um processo de vacinação rápida, que consiste em vacinadores que recebem os munícipes e aplicam um conjunto de anticorpos manipulados, melhorando o sistema imunológico do cidadão. De acordo com as normas técnicas de saúde vigentes nessa região, o procedimento vacinatório, incluindo atendimento prévio, triagem e a aplicação em si, ocorre em 30 minutos (TA). Estima-se que a população irá procurar os postos de vacinação a uma taxa ( lambda ) de 1,25 pessoas por hora. Devido a limitação do posto de saúde, não é possível aguardar em fila, de forma que a espera é considerada como perda. Considere que tanto a chegada de cidadãos como a aplicação de vacinas são processos markovianos. Dado:
  • Taxa de ocupação:
rho=lambdamu
  • Probabilidade de perda:
P p=rho^n
  • log (5)=0,69897
    Se o prefeito deseja que a taxa de perdas seja inferior a 1 %, quantos vacinadores, no mínimo, deverão ser contratados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um prefeito que quer implantar um processo de vacinação rápida na cidade. Ele quer saber quantos vacinadores precisa contratar para que menos de 1% das pessoas que chegam ao posto de saúde tenham de esperar (ou seja, para que a taxa de perdas seja inferior a 1%). Para resolver isso, vamos usar conceitos de filas markovianas, especificamente as fórmulas de taxa de ocupação e probabilidade de perda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • Taxa de chegada (λ): 1,25 pessoas por hora.
  • Tempo de serviço (TA): 30 minutos, ou seja, 0,5 horas.
  • Taxa de serviço por vacinador (μ): Como cada vacinador atende uma pessoa a cada 0,5 horas, a taxa de serviço é μ = 1 / TA = 2 pessoas por hora.
  • Taxa de ocupação (ρ): ρ = λ / μ.
Queremos que a probabilidade de perda (Pp) seja menor que 1%, ou seja, Pp < 0,01.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de ocupação (ρ). Essa taxa nos indica a proporção de tempo que os vacinadores estão ocupados.
rho = lambdamu = 1,252 = 0,625
Então, a taxa de ocupação é 0,625.

Passo 4

A probabilidade de perda (Pp) é dada por:
Pp = rho^n
Onde n é o número de vacinadores. Queremos que Pp < 0,01. Então:
0,625^n < 0,01

Passo 5

Para resolver essa inequação, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados. Usando logaritmo na base 10:
log(0,625^n) < log(0,01)
Usando a propriedade dos logaritmos, podemos trazer o expoente para frente:
n cdot log(0,625) < log(0,01)

Passo 6

Sabemos que log(5) = 0,69897. Vamos calcular os logaritmos necessários:
Primeiro, log(0,625):
0,625 = 58 = 52^3 Rightarrow log(0,625) = log(5) - 3log(2)
Sabemos que log(2) approx 0,3010, então:
log(0,625) = 0,69897 - 3 times 0,3010 = 0,69897 - 0,9030 = -0,20403
E log(0,01) = -2.

Passo 7

Substituindo os valores na inequação:
n times (-0,20403) < -2
Dividindo ambos os lados por -0,20403 (lembre que ao dividir por um número negativo, a desigualdade inverte):
n > -2-0,20403 Rightarrow n > 20,20403 approx 9,803

Passo 8

Como o número de vacinadores deve ser inteiro, arredondamos para cima:
n = 10

Resposta

O prefeito deve contratar, no mínimo, 10 vacinadores para que a taxa de perdas seja inferior a 1 %.

Exercícios relacionados