( ) A probabilidade de haver mais de quatro clientes em fila, para um tempo médio de atendimento de 2 min , é de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a probabilidade de ter mais de quatro clientes na fila, considerando que o tempo médio de atendimento é de 2 minutos. Estamos entrando no mundo da Teoria das Filas, que estuda como as pessoas ou itens esperam em filas para serem atendidos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre as distribuições de probabilidade que se aplicam a filas, especialmente a distribuição de Poisson e a taxa de atendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Tempo médio de atendimento (μ): 2 minutos por cliente. Isso significa que, em média, um cliente é atendido a cada 2 minutos.
- Probabilidade de ter mais de quatro clientes na fila: Estamos querendo confirmar se essa probabilidade é de 7,78%.
Agora, precisamos entender como calcular essa probabilidade usando a Teoria das Filas.
Passo 3
Vamos lembrar que na Teoria das Filas, especialmente no modelo M/M/1, usamos a taxa de chegada (λ) e a taxa de atendimento (μ). A notação M/M/1 significa:
- M: Chegadas seguem um processo de Poisson.
- M: Tempo de atendimento é exponencial.
- 1: Tem apenas um servidor.
No nosso caso, sabemos a taxa de atendimento (μ), mas precisamos assumir ou calcular a taxa de chegada (λ). Contudo, para este exercício, vamos focar em como calcular a probabilidade de ter mais de quatro clientes na fila considerando a taxa de atendimento.
Passo 4
A probabilidade de ter exatamente n clientes na fila em um sistema M/M/1 é dada pela fórmula:
onde:
- ρ (ro) é a taxa de utilização do sistema, calculada por ρ = λ / μ.
- λ é a taxa de chegada.
- μ é a taxa de atendimento.
Como queremos a probabilidade de ter mais de quatro clientes na fila, ou seja, n > 4, usamos a soma das probabilidades para n = 5, 6, 7, …
Passo 5
Mas existe uma forma mais simples de calcular a probabilidade de n ser maior que 4 usando a fórmula da soma infinita das probabilidades:
Essa simplificação ocorre porque a soma de uma progressão geométrica infinita a partir de n = 5 é igual a ρ^5.
Passo 6
Agora, precisamos determinar o valor de ρ (ro). Sabemos que μ = 1/2 (pois o tempo de atendimento é de 2 minutos, então a taxa é de 1/2 por minuto). Porém, para calcular ρ, precisamos saber λ. Como o enunciado não fornece λ diretamente, vamos assumir que o sistema está estável, ou seja, λ < μ.
Vamos supor, para fins de cálculo, que λ seja tal que ρ = 0.5 (isso significa que a taxa de chegada é metade da taxa de atendimento, garantindo a estabilidade do sistema).
Passo 7
Com ρ = 0.5, vamos calcular P(n > 4):
Convertendo para porcentagem:
Isso significa que, com ρ = 0.5, a probabilidade de haver mais de quatro clientes na fila é de aproximadamente 3,13%.
Resposta
A probabilidade de haver mais de quatro clientes na fila, com um tempo médio de atendimento de 2 minutos, é de aproximadamente 3,13%.