Um sistema de uma fila e um canal, obedecendo à distribuição de Poisson, tem uma média de 20 chegadas de clientes por hora. Sabe-se que cada cliente custa
por hora e que cada atendimento custa
. Um levantamento estatístico constatou que o número médio de clientes no sistema é de 5 por hora. Pede-se:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um sistema de filas que segue a distribuição de Poisson. Isso significa que os clientes chegam de forma aleatória, mas com uma média conhecida. Aqui, temos:
- Taxa média de chegada (
): 20 clientes por hora. - Custo por cliente por hora: R$ 60.
- Custo de atendimento por hora: R$ 2,50.
- Número médio de clientes no sistema (
): 5 clientes.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoria das filas, especificamente o modelo M/M/1, que é usado quando temos chegadas de clientes segundo um processo de Poisson, tempos de atendimento exponenciais, e um único canal de atendimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o número médio de clientes no sistema (
) para um sistema M/M/1:
Aqui,
é a taxa de chegada e
é a taxa de atendimento. Sabemos que
e
. Vamos usar essa informação para encontrar
.
Passo 3
Substituindo os valores na fórmula:
Agora, vamos resolver para
:
Então, a taxa de atendimento (
) é de 24 clientes por hora.
Passo 4
Agora, vamos calcular a utilização do sistema (
). A utilização indica a fração do tempo que o sistema está ocupado atendendo clientes. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Isso significa que o sistema está ocupado cerca de 83,33% do tempo.
Passo 5
Vamos agora calcular o custo total por hora no sistema. Temos dois tipos de custos:
- Custo com clientes no sistema: cada cliente custa R$ 60 por hora.
- Custo de atendimento: cada atendimento custa R$ 2,50 por hora.
Primeiro, calculamos o custo com os clientes:
Depois, calculamos o custo de atendimento. Sabemos que a taxa de atendimento é
clientes por hora, então o custo de atendimento por hora é:
Resposta
O custo total por hora no sistema é de R$ 360 (R$ 300 dos clientes e R$ 60 do atendimento).