Um sistema de uma fila e um canal, obedecendo à distribuição de Poisson, tem uma média de 20 chegadas de clientes por hora. Sabe-se que cada cliente custa R por hora e que cada atendimento custa por hora e que cada atendimento custa . Um levantamento estatístico constatou que o número médio de clientes no sistema é de 5 por hora. Pede-se:

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre um sistema de filas que segue a distribuição de Poisson. Isso significa que os clientes chegam de forma aleatória, mas com uma média conhecida. Aqui, temos:
  • Taxa média de chegada ( lambda): 20 clientes por hora.
  • Custo por cliente por hora: R$ 60.
  • Custo de atendimento por hora: R$ 2,50.
  • Número médio de clientes no sistema ( 60 - **Custo de atendimento por hora**: R): 5 clientes.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoria das filas, especificamente o modelo M/M/1, que é usado quando temos chegadas de clientes segundo um processo de Poisson, tempos de atendimento exponenciais, e um único canal de atendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o número médio de clientes no sistema ( L) para um sistema M/M/1:
L = lambdamu - lambda
Aqui, lambda é a taxa de chegada e mu é a taxa de atendimento. Sabemos que L = 5 e lambda = 20. Vamos usar essa informação para encontrar mu.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula:
5 = 20mu - 20
Agora, vamos resolver para mu:
5(mu - 20) = 20
5mu - 100 = 20
5mu = 120
mu = 24 clientes por hora
Então, a taxa de atendimento ( mu) é de 24 clientes por hora.

Passo 4

Agora, vamos calcular a utilização do sistema ( rho). A utilização indica a fração do tempo que o sistema está ocupado atendendo clientes. A fórmula é:
rho = lambdamu
Substituindo os valores:
rho = 2024 = 56 approx 0,8333 ou 83,33%
Isso significa que o sistema está ocupado cerca de 83,33% do tempo.

Passo 5

Vamos agora calcular o custo total por hora no sistema. Temos dois tipos de custos:
  1. Custo com clientes no sistema: cada cliente custa R$ 60 por hora.
  2. Custo de atendimento: cada atendimento custa R$ 2,50 por hora.
Primeiro, calculamos o custo com os clientes:
60 por hora 2 **Custo de atendimento**: cada atendimento custa R
Depois, calculamos o custo de atendimento. Sabemos que a taxa de atendimento é Custo dos clientes = L times Custo por cliente = 5 times 60 = R$ 300 clientes por hora, então o custo de atendimento por hora é:
mu = 24

Resposta

O custo total por hora no sistema é de R$ 360 (R$ 300 dos clientes e R$ 60 do atendimento).

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