Encontre a transformada de Fourier das funções a seguir: f(x) = { e^(-2 x), x > 0; 0, x <= 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função definida por:
Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
onde é a frequência angular e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Observando a definição de , vemos que ela é igual a para e zero para . Isso significa que podemos reescrever a integral limitada apenas a :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Essa é uma integral exponencial básica. A integral de de 0 a é , desde que a parte real de seja positiva, o que é o caso aqui ( ).

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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