Considere o problema de Programação Linear a seguir. Maximize: Z = x1 + 2x2 Sujeito a 3x1 + 4x2 ≤ 40 2x1 + x2 ≤ 18 5x1 + 7x2 ≤ 72 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 O valor ótimo da função objetivo é.
a) 8
b) 10
c) 18
d) 20
e) 40
a) 8
b) 10
c) 18
d) 20
e) 40
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Programação Linear juntos! O objetivo é encontrar o valor máximo da função Z = x₁ + 2x₂, sujeita a algumas restrições. Vamos precisar entender como traçar essas restrições no gráfico e encontrar os pontos que satisfazem todas elas para descobrir onde Z é maior.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as restrições do problema:
- 3x₁ + 4x₂ ≤ 40
- 2x₁ + x₂ ≤ 18
- 5x₁ + 7x₂ ≤ 72
- x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
Essas inequações definem uma região viável no plano x₁x₂ onde nossas soluções possíveis estão localizadas.
Passo 3
Vamos traçar cada uma dessas restrições no gráfico:
-
Para 3x₁ + 4x₂ = 40:
- Se x₁ = 0, então x₂ = 10
- Se x₂ = 0, então x₁ ≈ 13.33
-
Para 2x₁ + x₂ = 18:
- Se x₁ = 0, então x₂ = 18
- Se x₂ = 0, então x₁ = 9
-
Para 5x₁ + 7x₂ = 72:
- Se x₁ = 0, então x₂ ≈ 10.29
- Se x₂ = 0, então x₁ = 14.4
Esses pontos nos ajudam a desenhar as linhas das restrições no gráfico.
Passo 4
Agora, precisamos identificar a região que satisfaz todas as restrições simultaneamente, ou seja, onde todas as inequações são verdadeiras ao mesmo tempo. Essa região é chamada de região viável e geralmente é um polígono convexo.
Passo 5
Dentro da região viável, os valores de x₁ e x₂ que maximizam Z = x₁ + 2x₂ geralmente estão nos vértices desse polígono. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas restrições para identificar esses vértices.
Passo 6
Vamos resolver as equações das restrições duas a duas para encontrar os pontos de interseção:
-
Entre 3x₁ + 4x₂ = 40 e 2x₁ + x₂ = 18:
- Multiplicamos a segunda equação por 4: 8x₁ + 4x₂ = 72
- Subtraímos a primeira equação: (8x₁ + 4x₂) - (3x₁ + 4x₂) = 72 - 40 → 5x₁ = 32 → x₁ = 6.4
- Substituindo em 2x₁ + x₂ = 18: 12.8 + x₂ = 18 → x₂ = 5.2
- Ponto de interseção: (6.4, 5.2)
-
Entre 2x₁ + x₂ = 18 e 5x₁ + 7x₂ = 72:
- Multiplicamos a segunda equação por 1: 2x₁ + x₂ = 18
- Multiplicamos a primeira equação por 7: 14x₁ + 7x₂ = 126
- Subtraímos a segunda equação: (14x₁ + 7x₂) - (5x₁ + 7x₂) = 126 - 72 → 9x₁ = 54 → x₁ = 6
- Substituindo em 2x₁ + x₂ = 18: 12 + x₂ = 18 → x₂ = 6
- Ponto de interseção: (6, 6)
Passo 7
Agora temos os seguintes vértices da região viável:
- (0, 0)
- (0, 10)
- (6.4, 5.2)
- (6, 6)
Vamos calcular o valor de Z em cada um desses pontos:
- Em (0, 0): Z = 0 + 2(0) = 0
- Em (0, 10): Z = 0 + 2(10) = 20
- Em (6.4, 5.2): Z = 6.4 + 2(5.2) = 6.4 + 10.4 = 16.8
- Em (6, 6): Z = 6 + 2(6) = 6 + 12 = 18
Passo 8
Comparando os valores de Z, o maior valor é 20, que ocorre no ponto (0, 10). Portanto, o valor ótimo da função objetivo é 20.
Resposta
d) 20