Considere o problema de Programação Linear a seguir. Maximize: Z = x1 + 2x2 Sujeito a 3x1 + 4x2 ≤ 40 2x1 + x2 ≤ 18 5x1 + 7x2 ≤ 72 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 O valor ótimo da função objetivo é.
a) 8
b) 10
c) 18
d) 20
e) 40

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Programação Linear juntos! O objetivo é encontrar o valor máximo da função Z = x₁ + 2x₂, sujeita a algumas restrições. Vamos precisar entender como traçar essas restrições no gráfico e encontrar os pontos que satisfazem todas elas para descobrir onde Z é maior.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as restrições do problema:
  1. 3x₁ + 4x₂ ≤ 40
  2. 2x₁ + x₂ ≤ 18
  3. 5x₁ + 7x₂ ≤ 72
  4. x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0
Essas inequações definem uma região viável no plano x₁x₂ onde nossas soluções possíveis estão localizadas.

Passo 3

Vamos traçar cada uma dessas restrições no gráfico:
  1. Para 3x₁ + 4x₂ = 40:
    • Se x₁ = 0, então x₂ = 10
    • Se x₂ = 0, então x₁ ≈ 13.33
  2. Para 2x₁ + x₂ = 18:
    • Se x₁ = 0, então x₂ = 18
    • Se x₂ = 0, então x₁ = 9
  3. Para 5x₁ + 7x₂ = 72:
    • Se x₁ = 0, então x₂ ≈ 10.29
    • Se x₂ = 0, então x₁ = 14.4
Esses pontos nos ajudam a desenhar as linhas das restrições no gráfico.

Passo 4

Agora, precisamos identificar a região que satisfaz todas as restrições simultaneamente, ou seja, onde todas as inequações são verdadeiras ao mesmo tempo. Essa região é chamada de região viável e geralmente é um polígono convexo.

Passo 5

Dentro da região viável, os valores de x₁ e x₂ que maximizam Z = x₁ + 2x₂ geralmente estão nos vértices desse polígono. Vamos encontrar os pontos de interseção dessas restrições para identificar esses vértices.

Passo 6

Vamos resolver as equações das restrições duas a duas para encontrar os pontos de interseção:
  1. Entre 3x₁ + 4x₂ = 40 e 2x₁ + x₂ = 18:
    • Multiplicamos a segunda equação por 4: 8x₁ + 4x₂ = 72
    • Subtraímos a primeira equação: (8x₁ + 4x₂) - (3x₁ + 4x₂) = 72 - 40 → 5x₁ = 32 → x₁ = 6.4
    • Substituindo em 2x₁ + x₂ = 18: 12.8 + x₂ = 18 → x₂ = 5.2
    • Ponto de interseção: (6.4, 5.2)
  2. Entre 2x₁ + x₂ = 18 e 5x₁ + 7x₂ = 72:
    • Multiplicamos a segunda equação por 1: 2x₁ + x₂ = 18
    • Multiplicamos a primeira equação por 7: 14x₁ + 7x₂ = 126
    • Subtraímos a segunda equação: (14x₁ + 7x₂) - (5x₁ + 7x₂) = 126 - 72 → 9x₁ = 54 → x₁ = 6
    • Substituindo em 2x₁ + x₂ = 18: 12 + x₂ = 18 → x₂ = 6
    • Ponto de interseção: (6, 6)

Passo 7

Agora temos os seguintes vértices da região viável:
  • (0, 0)
  • (0, 10)
  • (6.4, 5.2)
  • (6, 6)
Vamos calcular o valor de Z em cada um desses pontos:
  1. Em (0, 0): Z = 0 + 2(0) = 0
  2. Em (0, 10): Z = 0 + 2(10) = 20
  3. Em (6.4, 5.2): Z = 6.4 + 2(5.2) = 6.4 + 10.4 = 16.8
  4. Em (6, 6): Z = 6 + 2(6) = 6 + 12 = 18

Passo 8

Comparando os valores de Z, o maior valor é 20, que ocorre no ponto (0, 10). Portanto, o valor ótimo da função objetivo é 20.

Resposta

d) 20

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