Considere o problema de valor inicial
dy/dx = (1/2 y^2 + 9 x^2) / (y^2 - x y) , y(0) = -raiz(3)
Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial.
quadrado(-infinito, raiz_cubo(1/3)).
d (-raiz(1/3), raiz(6/19)).
(b) (-raiz(1/3), +infinito).
e -\infty, +\infty.
f (-infinito, raiz(cubo(6/19))).
c (-raiz(6/19), raiz(1/3)).
g (-raiz(6/19), +infinito).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, determinar a solução específica que satisfaz a condição inicial. Para isso, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, verificando se a equação é exata e, se necessário, encontrando um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Rearranjando os termos, a equação fica na forma:

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, diferenciando em relação a :
Igualando as expressões:
Integrando :
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é obtida igualando a função potencial a uma constante:
Podemos rearranjar para:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Calculando:
Portanto, a solução particular é:

Passo 7

Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução. Observando as opções, consideramos os valores de e onde a solução é definida e não apresenta singularidades. Após analisar as possíveis restrições, concluímos que o intervalo de validade é:

Resposta

A alternativa correta é a (b) .

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