Encontre a solução geral da equação diferencial. A partir da solução geral determine a solução do problema de valor inicial. Marque a única alternativa que representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial. quadrado(-infinito, raiz_cubo(1/3)).
d (-raiz(1/3), raiz(6/19)).
(b) (-raiz(1/3), +infinito).
e -\infty, +\infty.
f (-infinito, raiz(cubo(6/19))).
c (-raiz(6/19), raiz(1/3)).
g (-raiz(6/19), +infinito).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um problema de valor inicial com uma equação diferencial:
com a condição inicial . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e, em seguida, determinar a solução específica que satisfaz a condição inicial. Para isso, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais, verificando se a equação é exata e, se necessário, encontrando um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a resolução:
Multiplicando ambos os lados por , obtemos:
Rearranjando os termos, a equação fica na forma:
Passo 3
Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Agora, diferenciando em relação a :
Igualando as expressões:
Integrando :
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é obtida igualando a função potencial a uma constante:
Podemos rearranjar para:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Calculando:
Portanto, a solução particular é:
Passo 7
Por fim, precisamos determinar o intervalo de validade da solução. Observando as opções, consideramos os valores de e onde a solução é definida e não apresenta singularidades. Após analisar as possíveis restrições, concluímos que o intervalo de validade é: