Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita definida por:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries geométricas e propriedades das potências. Vamos precisar simplificar os termos da série e verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, vamos calcular a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que . Também, . Então temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar . Sabemos que , já que alterna entre e dependendo de . Assim, a expressão fica:
Passo 4
Simplificamos para , então a expressão da série fica:
Podemos tirar como fator constante:
Passo 5
Agora, reconhecemos que é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . Como , a série converge.
Passo 6
Para encontrar a soma da série geométrica a partir de , usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Mas queremos a partir de , então:
Substituindo :
Passo 7
Agora, multiplicamos pela constante que tiramos antes: