Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
sumj=2^infty (-1)^-j 2^2 j6^j+3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita definida por:
sumj=2^infty (-1)^-j cdot 2^2j6^j+3
O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries geométricas e propriedades das potências. Vamos precisar simplificar os termos da série e verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, vamos calcular a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão (-1)^-j cdot 2^2j6^j+3. Sabemos que 2^2j = (2^2)^j = 4^j. Também, 6^j+3 = 6^j cdot 6^3. Então temos:
(-1)^-j cdot 4^j6^j cdot 6^3 = (-1)^-j6^3 cdot (46)^j

Passo 3

Agora, vamos simplificar (-1)^-j. Sabemos que (-1)^-j = 1(-1)^j = (-1)^j, já que 1(-1)^j alterna entre 1 e -1 dependendo de j. Assim, a expressão fica:
(-1)^j cdot (46)^j6^3 = 16^3 cdot (-46)^j

Passo 4

Simplificamos 46 para 23, então a expressão da série fica:
sumj=2^infty 16^3 cdot (-23)^j
Podemos tirar 16^3 como fator constante:
16^3 sumj=2^infty (-23)^j

Passo 5

Agora, reconhecemos que sumj=2^infty (-23)^j é uma série geométrica com razão r = -23. Sabemos que uma série geométrica converge se |r| < 1. Como |-23| = 23 < 1, a série converge.

Passo 6

Para encontrar a soma da série geométrica a partir de j=2, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
sumj=0^infty r^j = 11 - r
Mas queremos a partir de j=2, então:
sumj=2^infty r^j = sumj=0^infty r^j - r^0 - r^1 = 11 - r - 1 - r
Substituindo r = -23:
11 - (-23) - 1 - (-23) = 153 - 1 + 23 = 35 - 55 + 23 = 415

Passo 7

Agora, multiplicamos pela constante que tiramos antes:
16^3 cdot 415 = 415 cdot 216 = 43240 = 1810

Resposta

A série é convergente e a soma da série é 1810.

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quadrado(-infinito, raiz_cubo(1/3)).
d (-raiz(1/3), raiz(6/19)).
(b) (-raiz(1/3), +infinito).
e -\infty, +\infty.
f (-infinito, raiz(cubo(6/19))).
c (-raiz(6/19), raiz(1/3)).
g (-raiz(6/19), +infinito).