Considere a seguinte equação diferencial:
A equação (1) é exata? Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão que você enviou. A gente tem uma equação diferencial apresentada da seguinte forma:
O objetivo aqui é descobrir se essa equação é exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e aprender como identificar se uma equação diferencial é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é considerada exata se existe uma função
tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
nos dão as funções
e
respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a nossa equação é exata, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, comparamos as derivadas parciais que calculamos:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas precisam ser iguais. Neste caso, elas não são iguais.
Resposta
Não, a equação diferencial
não é exata, porque as derivadas parciais
e
são diferentes.
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Encontre a derivada parcial de
com respeito a
para um gás que obedece a equação de van der Waals:
Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem; quando a sequência for convergente, encontre o seu limite [faça o mesmo para as sequências do item 3)]
(i)
(i)
Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para qual a solução toca, mas não cruza o eixo
(eixo horizontal).