Considere a seguinte equação diferencial:
y dx - 3x dy = 0
A equação (1) é exata? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão que você enviou. A gente tem uma equação diferencial apresentada da seguinte forma:
O objetivo aqui é descobrir se essa equação é exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e aprender como identificar se uma equação diferencial é desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma equação diferencial da forma:
é considerada exata se existe uma função tal que:
Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e nos dão as funções e respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a nossa equação é exata, vamos identificar as funções e na equação dada:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  • Derivada parcial de em relação a :
  • Derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, comparamos as derivadas parciais que calculamos:
Para a equação ser exata, essas duas derivadas precisam ser iguais. Neste caso, elas não são iguais.

Resposta

Não, a equação diferencial não é exata, porque as derivadas parciais e são diferentes.

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