Desenhe as curvas de nível e determine a imagem:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Precisamos desenhar as curvas de nível dessa função e determinar a imagem dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível e a imagem de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano
onde a função
mantém um valor constante. Isso significa que para cada valor fixo de
, temos uma equação que relaciona
e
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação
. Essa é a equação geral de uma elipse. Podemos reescrevê-la na forma padrão dividindo os dois lados da equação por
:
Isso mostra que a curva é uma elipse com semi-eixo no
de comprimento
e semi-eixo no
de comprimento
.
Passo 4
Portanto, todas as curvas de nível da nossa função são elipses centradas na origem (0,0) do plano
. Conforme o valor de
aumenta, as elipses ficam maiores, porque os semi-eixos aumentam de tamanho.
Passo 5
Finalmente, para determinar a imagem da função
, observamos que tanto
quanto
são sempre maiores ou iguais a zero para quaisquer valores reais de
e
. Portanto,
nunca será negativo.
Resposta
As curvas de nível da função são elipses da forma
para todo
. A imagem da função é todos os números reais não negativos, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Considere a seguinte equação diferencial:
A equação (1) é exata? Justifique sua resposta.
Encontre a derivada parcial de
com respeito a
para um gás que obedece a equação de van der Waals:
Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para qual a solução toca, mas não cruza o eixo
(eixo horizontal).
Determine três iteradas de Picard para o problema de valor inicial