Desenhe as curvas de nível e determine a imagem: z = 4 x^2 + y^2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Precisamos desenhar as curvas de nível dessa função e determinar a imagem dela. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas de nível e a imagem de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvas de nível. Curvas de nível são linhas no plano onde a função mantém um valor constante. Isso significa que para cada valor fixo de , temos uma equação que relaciona e . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação . Essa é a equação geral de uma elipse. Podemos reescrevê-la na forma padrão dividindo os dois lados da equação por :
Isso mostra que a curva é uma elipse com semi-eixo no de comprimento e semi-eixo no de comprimento .

Passo 4

Portanto, todas as curvas de nível da nossa função são elipses centradas na origem (0,0) do plano . Conforme o valor de aumenta, as elipses ficam maiores, porque os semi-eixos aumentam de tamanho.

Passo 5

Finalmente, para determinar a imagem da função , observamos que tanto quanto são sempre maiores ou iguais a zero para quaisquer valores reais de e . Portanto, nunca será negativo.

Resposta

As curvas de nível da função são elipses da forma para todo . A imagem da função é todos os números reais não negativos, ou seja, .

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