Considere o problema de valor inicial { y' = t * y * (4 - y) / 3 , y(0) = y0 }
Determine o comportamento da solução em função de y0 quando t -> +infinito.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
Nosso objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando tende ao infinito ( ), dependendo do valor inicial . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis e análise de estabilidade de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida usando a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as variáveis e em lados opostos da equação.

Passo 3

Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
Podemos reorganizar os termos:
Agora, integraremos ambos os lados da equação para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Integrando, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão e resolver para :
Exponenciando ambos os lados:
onde é uma constante.
Resolvendo para :
Aplicando a condição inicial :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Quando tende ao infinito ( ):
  • Se e , então se aproxima de 4.
  • Se , permanece em 0 para todo .
  • Se , permanece constante em 4 para todo .
Portanto, para qualquer valor inicial diferente de 0, a solução tende a 4 quando . Se , a solução permanece em 0.

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