Considere o problema de valor inicial
Determine o comportamento da solução em função de
quando
.
Determine o comportamento da solução em função de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial dado por:
Nosso objetivo é descobrir como a solução dessa equação se comporta quando
tende ao infinito (
), dependendo do valor inicial
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis e análise de estabilidade de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. A equação é:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e pode ser resolvida usando a técnica de separação de variáveis, que nos ajuda a separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
Podemos reorganizar os termos:
Agora, integraremos ambos os lados da equação para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Integrando, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão e resolver para
:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma constante.
Resolvendo para
:
Aplicando a condição inicial
:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
Quando
tende ao infinito (
):
- Se
e , então se aproxima de 4. - Se
, permanece em 0 para todo . - Se
, permanece constante em 4 para todo .
Portanto, para qualquer valor inicial
diferente de 0, a solução tende a 4 quando
. Se
, a solução permanece em 0.
Exercícios relacionados
Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução que satisfaça a condição inicial
;
c) Calcule , onde
é a solução do ítem b.
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução
c) Calcule
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Calcule as integrais indefinidas.