Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução que satisfaça a condição inicial ;
c) Calcule , onde é a solução do ítem b.

Passo 1

Beleza, então temos esse sistema de equações diferenciais:
O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar a solução geral desse sistema.
b) Desenhar a trajetória da solução que passa pelo ponto inicial .
c) Calcular o limite de quando tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar autovalores e autovetores, e entender como essas soluções se comportam ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos começar encontrando a solução geral do sistema. Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:

[
\frac{d}{dt}



]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores ( ) dessa matriz resolvendo o determinante:
Isso nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores. Depois disso, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. A solução geral será uma combinação linear das soluções encontradas a partir desses autovalores e autovetores.

Passo 3

Após encontrar os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema será da forma:
Onde e são constantes que determinamos usando as condições iniciais, e são os autovalores, e são os componentes dos autovetores.

Passo 4

Agora, vamos desenhar a trajetória da solução que passa pelo ponto inicial . Para isso, substituímos na solução geral:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de e . Com esses valores, temos a solução específica que passa pelo ponto inicial dado. Plotando e em função de , obtemos a trajetória .

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite de quando tende ao infinito:
Dependendo dos autovalores encontrados, se eles tiverem partes reais negativas, as soluções tenderão a zero. Se houver um autovalor com parte real positiva, a solução tenderá ao infinito. Se tiverem partes reais iguais a zero, precisamos analisar mais detalhadamente, possivelmente envolvendo termos senoidais se houver componentes imaginárias. No nosso caso, seguindo os cálculos anteriores, determinamos o comportamento limíte ao infinito baseado nos autovalores.

Resposta

A solução geral do sistema é:
Para a condição inicial , determinamos os constantes e e, com isso, traçamos a trajetória específica no plano . O limite de quando tende ao infinito depende dos autovalores, e, neste caso, a solução tende a zero:

Exercícios relacionados

Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)
Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
a) e ;
b)
c) ;
d)
e) ;
f) .
Considere o problema de valor inicial
Determine o comportamento da solução em função de quando .
Calcule as integrais indefinidas.