Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução
que satisfaça a condição inicial
;
c) Calcule
, onde
é a solução do ítem b.
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução
c) Calcule
Passo 1
Beleza, então temos esse sistema de equações diferenciais:
O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar a solução geral desse sistema.
b) Desenhar a trajetória da solução
que passa pelo ponto inicial
.
c) Calcular o limite de
quando
tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar autovalores e autovetores, e entender como essas soluções se comportam ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos começar encontrando a solução geral do sistema. Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:
[
\frac{d}{dt}
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores (
) dessa matriz resolvendo o determinante:
Isso nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores. Depois disso, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. A solução geral será uma combinação linear das soluções encontradas a partir desses autovalores e autovetores.
Passo 3
Após encontrar os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema será da forma:
Onde
e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais,
e
são os autovalores, e
são os componentes dos autovetores.
Passo 4
Agora, vamos desenhar a trajetória da solução
que passa pelo ponto inicial
. Para isso, substituímos
na solução geral:
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de
e
. Com esses valores, temos a solução específica que passa pelo ponto inicial dado. Plotando
e
em função de
, obtemos a trajetória
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Dependendo dos autovalores encontrados, se eles tiverem partes reais negativas, as soluções tenderão a zero. Se houver um autovalor com parte real positiva, a solução tenderá ao infinito. Se tiverem partes reais iguais a zero, precisamos analisar mais detalhadamente, possivelmente envolvendo termos senoidais se houver componentes imaginárias. No nosso caso, seguindo os cálculos anteriores, determinamos o comportamento limíte ao infinito baseado nos autovalores.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Para a condição inicial
, determinamos os constantes
e
e, com isso, traçamos a trajetória específica no plano
. O limite de
quando
tende ao infinito depende dos autovalores, e, neste caso, a solução tende a zero:
Exercícios relacionados
Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
a) e
;
b)
c) ;
d)
e) ;
f) .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Considere o problema de valor inicial
Determine o comportamento da solução em função de quando
.
Determine o comportamento da solução em função de
Calcule as integrais indefinidas.