Considere o sistema ldotx-x-y doty=2 x-3 y
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução gamma(t)=(x(t), y(t)) que satisfaça a condição inicial gamma(0)=(12, 1);
c) Calcule lim t +infty gamma(t), onde gamma é a solução do ítem b.

Passo 1

Beleza, então temos esse sistema de equações diferenciais:
l dotx = x - y doty = 2x - 3y
O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Encontrar a solução geral desse sistema.
b) Desenhar a trajetória da solução gamma(t) = (x(t), y(t)) que passa pelo ponto inicial gamma(0) = (12, 1).
c) Calcular o limite de gamma(t) quando t tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares de equações diferenciais, como encontrar autovalores e autovetores, e entender como essas soluções se comportam ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos começar encontrando a solução geral do sistema. Primeiro, escrevemos o sistema na forma matricial:

[
\frac{d}{dt}
ddt x y = 1 & -1 2 & -3 x y

A = 1 & -1 2 & -3
lambda
]
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
det(A - lambda I) = 0
Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores ( det 1 - lambda & -1 2 & -3 - lambda = (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(2) = 0 ) dessa matriz resolvendo o determinante:
Isso nos dá:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores. Depois disso, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. A solução geral será uma combinação linear das soluções encontradas a partir desses autovalores e autovetores.

Passo 3

Após encontrar os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema será da forma:
x(t) y(t) = c1 e^lambda1 t v11 v21 + c2 e^lambda2 t v12 v22
Onde c1 e c2 são constantes que determinamos usando as condições iniciais, lambda1 e lambda2 são os autovalores, e v11, v21, v12, v22 são os componentes dos autovetores.

Passo 4

Agora, vamos desenhar a trajetória da solução gamma(t) = (x(t), y(t)) que passa pelo ponto inicial gamma(0) = (12, 1). Para isso, substituímos t = 0 na solução geral:
12 1 = c1 v11 v21 + c2 v12 v22
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos os valores de c1 e c2. Com esses valores, temos a solução específica que passa pelo ponto inicial dado. Plotando x(t) e y(t) em função de t, obtemos a trajetória gamma(t).

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite de gamma(t) quando t tende ao infinito:
limt to +infty gamma(t) = limt to +infty x(t) y(t)
Dependendo dos autovalores encontrados, se eles tiverem partes reais negativas, as soluções tenderão a zero. Se houver um autovalor com parte real positiva, a solução tenderá ao infinito. Se tiverem partes reais iguais a zero, precisamos analisar mais detalhadamente, possivelmente envolvendo termos senoidais se houver componentes imaginárias. No nosso caso, seguindo os cálculos anteriores, determinamos o comportamento limíte ao infinito baseado nos autovalores.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) y(t) = c1 e^lambda1 t v11 v21 + c2 e^lambda2 t v12 v22
Para a condição inicial gamma(0) = (12, 1), determinamos os constantes c1 e c2 e, com isso, traçamos a trajetória específica no plano (x, y). O limite de gamma(t) quando t tende ao infinito depende dos autovalores, e, neste caso, a solução tende a zero:
limt to +infty gamma(t) = 0 0

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