Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver cada um desses sistemas de equações diferenciais que você mandou. Cada sistema tem duas equações que descrevem como as variáveis
e
mudam ao longo do tempo, junto com condições iniciais que nos dizem os valores de
e
no tempo
. Para resolver esses sistemas, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e entender como as soluções se comportam no tempo. Vamos começar com a letra a).
Passo 2
Letra a)
Temos o sistema:
Primeiro, vamos derivar uma equação para
ou
sozinha. Vamos derivar
em relação ao tempo:
Sabemos que
, então substituindo:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Agora, para encontrar
, usamos a equação
:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Sabemos que
:
Também sabemos que
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
nas expressões de
e
:
Passo 5
Para desenhar a trajetória, podemos eliminar o
das equações de
e
. No entanto, como as soluções são combinações de senos e cossenos, a trajetória será uma elipse no plano
.
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é:
A trajetória da solução no plano
é uma elipse.