Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a) { dot(x) = -2y, x(0) = 1, dot(y) = 3x, y(0) = 1 }
b) { dot(x) = y, x(0) = 2 ; dot(y) = x, y(0) = 2 }
c) { dx/dt = x, x(0) = 1; dy/dt = -y, y(0) = 1 }
d) { dot(x) = -2 x - y, x(0) = 1; dot(y) = x - 2 y, y(0) = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver cada um desses sistemas de equações diferenciais que você mandou. Cada sistema tem duas equações que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo, junto com condições iniciais que nos dizem os valores de e no tempo . Para resolver esses sistemas, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e entender como as soluções se comportam no tempo. Vamos começar com a letra a).

Passo 2

Letra a)
Temos o sistema:
Primeiro, vamos derivar uma equação para ou sozinha. Vamos derivar em relação ao tempo:
Sabemos que , então substituindo:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Agora, para encontrar , usamos a equação :
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Sabemos que :
Também sabemos que :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, substituímos e nas expressões de e :

Passo 5

Para desenhar a trajetória, podemos eliminar o das equações de e . No entanto, como as soluções são combinações de senos e cossenos, a trajetória será uma elipse no plano .

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
A trajetória da solução no plano é uma elipse.

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