Determine a solução que satisfaz as condições iniciais dadas. Desenhe a trajetória da solução.
a)
b)
c)
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver cada um desses sistemas de equações diferenciais que você mandou. Cada sistema tem duas equações que descrevem como as variáveis e mudam ao longo do tempo, junto com condições iniciais que nos dizem os valores de e no tempo . Para resolver esses sistemas, vamos usar métodos de resolução de equações diferenciais lineares e entender como as soluções se comportam no tempo. Vamos começar com a letra a).

Passo 2

Letra a)
Temos o sistema:
Primeiro, vamos derivar uma equação para ou sozinha. Vamos derivar em relação ao tempo:
Sabemos que , então substituindo:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Essa é uma equação diferencial harmônica, cuja solução geral é:
Agora, para encontrar , usamos a equação :
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Sabemos que :
Também sabemos que :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora, substituímos e nas expressões de e :

Passo 5

Para desenhar a trajetória, podemos eliminar o das equações de e . No entanto, como as soluções são combinações de senos e cossenos, a trajetória será uma elipse no plano .

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é:
A trajetória da solução no plano é uma elipse.

Exercícios relacionados

Utilizando transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
a) e ;
b)
c) ;
d)
e) ;
f) .
Resolva.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Considere o sistema
a) Determine a solução geral;
b) Desenhe a trajetória da solução que satisfaça a condição inicial ;
c) Calcule , onde é a solução do ítem b.
Considere o problema de valor inicial
Determine o comportamento da solução em função de quando .