Considere um próton de massa mp, carga q e velocidade inicial v=v0 y y+v0 z z, se movendo em uma região de campo magnético uniforme dado por B=B0 y, onde B0 é uma constante positiva. Só existe a força magnética atuando sobre o próton.
Calcule a força que atua sobre o próton e sua aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um próton com massa $ m_p $, carga $ q $ e uma velocidade inicial que tem componentes nas direções $ y $ e $ z $, ou seja, $ \vec{v} = v_{0y} \hat{y} + v_{0z} \hat{z} $. Esse próton está se movendo em um campo magnético uniforme $ \vec{B} = B_0 \hat{y} $. Só tem força magnética agindo sobre ele. Nosso objetivo aqui é calcular qual é essa força magnética e qual é a aceleração resultante no próton. Para isso, vamos usar a teoria da força magnética, especificamente a força de Lorentz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a força magnética que atua sobre uma partícula carregada em movimento. A fórmula que a gente usa é a força de Lorentz:
F = q , v times B
Aqui, $ \times $ representa o produto vetorial entre a velocidade $ \vec{v} $ e o campo magnético $ \vec{B} $.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{v} \times \vec{B} $. Temos:
v times B
v = v0y y + v0z z
O produto vetorial fica:
B = B0 y
Distribuindo o produto:
v times B = (v0y y + v0z z) times B0 y
Sabemos que o produto vetorial de um vetor consigo mesmo é zero ($ \hat{y} \times \hat{y} = 0 $), então:
= v0y y times B0 y + v0z z times B0 y
E, usando a regra do produto vetorial, $ \hat{z} \times \hat{y} = -\hat{x} $, então:
y times y = 0

Passo 4

Agora, aplicamos a força de Lorentz:
F = q , v times B = q (-v0z B0 x) = -q v0z B0 x
Isso significa que a força magnética está na direção negativa de $ \hat{x} $.

Passo 5

Para achar a aceleração $ \vec{a} $, usamos a segunda lei de Newton:
a
Então, a aceleração também está na direção negativa de $ \hat{x} $ e depende dos valores de $ q $, $ v_{0z} $, $ B_0 $ e $ m_p $.

Resposta

A força que atua sobre o próton é $ \vec{F} = -q v_{0z} B_0 \hat{x} $ e sua aceleração é $ \vec{a} = \frac{-q v_{0z} B_0}{m_p} \hat{x} $.

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